Математический анализ Примеры

$f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x - 6$ и $g (x) = x^{2} - 12 x - 72$ .

$(x - 6) \frac{d}{d x} [x^{2} - 12 x - 72] + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 12 x - 72$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$(x - 6) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$(x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$(x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$(x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} [- 72]) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2.6

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2.7

Добавим $2 x - 12$ и $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} [x - 6]$

Этап 1.2.8

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])$

Этап 1.2.10

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

Этап 1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

Этап 1.2.11.2

Умножим $x^{2} - 12 x - 72$ на $1$ .

$(x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.5

Умножим $2$ на $- 6$ .

$2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.6

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.7

Умножим $- 6$ на $- 12$ .

$2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.8

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

Этап 1.3.4.10

Вычтем $12 x$ из $- 24 x$ .

$3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

Этап 1.3.4.11

Вычтем $72$ из $72$ .

$3 x^{2} - 36 x + 0$

Этап 1.3.4.12

Добавим $3 x^{2} - 36 x$ и $0$ .

$3 x^{2} - 36 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 36 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 36$ является константой относительно $x$ , производная $- 36 x$ по $x$ равна $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 36$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 36$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 36 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = (x - 6) \frac{d}{d x} (x^{2} - 12 x - 72) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} - 12 x - 72$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 72]$ .

$f' (x) = (x - 6) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2.3

Поскольку $- 12$ является константой относительно $x$ , производная $- 12 x$ по $x$ равна $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2.5

Умножим $- 12$ на $1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 72)) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2.6

Поскольку $- 72$ является константой относительно $x$ , производная $- 72$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12 + 0) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2.7

Добавим $2 x - 12$ и $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \frac{d}{d x} (x - 6)$

Этап 4.1.2.8

По правилу суммы производная $x - 6$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (\frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 6))$

Этап 4.1.2.9

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + \frac{d}{d x} (- 6))$

Этап 4.1.2.10

Поскольку $- 6$ является константой относительно $x$ , производная $- 6$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) (1 + 0)$

Этап 4.1.2.11

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.11.1

Добавим $1$ и $0$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + (x^{2} - 12 x - 72) \cdot 1$

Этап 4.1.2.11.2

Умножим $x^{2} - 12 x - 72$ на $1$ .

$f' (x) = (x - 6) (2 x - 12) + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = (x - 6) (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + (x - 6) \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = x (2 x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.4.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 2 (x \cdot x) - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 2 x^{1 + 1} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 6 (2 x) + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.5

Умножим $2$ на $- 6$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x + x \cdot - 12 - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.6

Перенесем $- 12$ влево от $x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 \cdot x - 6 \cdot - 12 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.7

Умножим $- 6$ на $- 12$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 12 x - 12 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.8

Вычтем $12 x$ из $- 12 x$ .

$f' (x) = 2 x^{2} - 24 x + 72 + x^{2} - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.9

Добавим $2 x^{2}$ и $x^{2}$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 24 x + 72 - 12 x - 72$

Этап 4.1.3.4.10

Вычтем $12 x$ из $- 24 x$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 72 - 72$

Этап 4.1.3.4.11

Вычтем $72$ из $72$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x + 0$

Этап 4.1.3.4.12

Добавим $3 x^{2} - 36 x$ и $0$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 36 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 36 x$ .

$3 x^{2} - 36 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 36 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 36 x = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2} - 36 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x^{2}$ .

$3 x (x) - 36 x = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 x$ из $- 36 x$ .

$3 x (x) + 3 x (- 12) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 x$ из $3 x (x) + 3 x (- 12)$ .

$3 x (x - 12) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x - 12 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x - 12$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x - 12$ к $0$ .

$x - 12 = 0$

Этап 5.5.2

Добавим $12$ к обеим частям уравнения.

$x = 12$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $3 x (x - 12) = 0$ верно.

$x = 0, 12$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 12$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (0) - 36$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $6$ на $0$ .

$0 - 36$

Этап 9.2

Вычтем $36$ из $0$ .

$- 36$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = ((0) - 6) ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Вычтем $6$ из $0$ .

$f (0) = - 6 ({(0)}^{2} - 12 \cdot 0 - 72)$

Этап 11.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = - 6 (0 - 12 \cdot 0 - 72)$

Этап 11.2.2.2

Умножим $- 12$ на $0$ .

$f (0) = - 6 (0 + 0 - 72)$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = - 6 (0 - 72)$

Этап 11.2.3.2

Вычтем $72$ из $0$ .

$f (0) = - 6 \cdot - 72$

Этап 11.2.3.3

Умножим $- 6$ на $- 72$ .

$f (0) = 432$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $432$ .

$y = 432$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = 12$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (12) - 36$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $6$ на $12$ .

$72 - 36$

Этап 13.2

Вычтем $36$ из $72$ .

$36$

Этап 14

$x = 12$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 12$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = 12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $12$ .

$f (12) = ((12) - 6) ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Вычтем $6$ из $12$ .

$f (12) = 6 ({(12)}^{2} - 12 \cdot 12 - 72)$

Этап 15.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $12$ в степень $2$ .

$f (12) = 6 (144 - 12 \cdot 12 - 72)$

Этап 15.2.2.2

Умножим $- 12$ на $12$ .

$f (12) = 6 (144 - 144 - 72)$

Этап 15.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Вычтем $144$ из $144$ .

$f (12) = 6 (0 - 72)$

Этап 15.2.3.2

Вычтем $72$ из $0$ .

$f (12) = 6 \cdot - 72$

Этап 15.2.3.3

Умножим $6$ на $- 72$ .

$f (12) = - 432$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $- 432$ .

$y = - 432$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = (x - 6) (x^{2} - 12 x - 72)$ .

$(0, 432)$ — локальный максимум

$(12, - 432)$ — локальный минимум

Этап 17