Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.2
Продифференцируем.
Этап 1.2.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.2
Перенесем влево от .
Этап 1.2.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.6
Упростим выражение.
Этап 1.2.6.1
Добавим и .
Этап 1.2.6.2
Умножим на .
Этап 1.3
Возведем в степень .
Этап 1.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.5
Добавим и .
Этап 1.6
Упростим.
Этап 1.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 1.6.3
Упростим числитель.
Этап 1.6.3.1
Упростим каждый член.
Этап 1.6.3.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 1.6.3.1.1.1
Перенесем .
Этап 1.6.3.1.1.2
Умножим на .
Этап 1.6.3.1.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 1.6.3.1.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 1.6.3.1.1.3
Добавим и .
Этап 1.6.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.6.3.2
Объединим противоположные члены в .
Этап 1.6.3.2.1
Вычтем из .
Этап 1.6.3.2.2
Добавим и .
Этап 1.6.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.6.5
Упростим знаменатель.
Этап 1.6.5.1
Перепишем в виде .
Этап 1.6.5.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 1.6.5.3
Применим правило умножения к .
Этап 2
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Этап 2.3.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.2
Умножим на .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.5
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.5.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.5.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.6
Продифференцируем.
Этап 2.6.1
Перенесем влево от .
Этап 2.6.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.6.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.6.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.6.5
Упростим выражение.
Этап 2.6.5.1
Добавим и .
Этап 2.6.5.2
Умножим на .
Этап 2.7
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.7.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.7.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.7.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.8
Продифференцируем.
Этап 2.8.1
Перенесем влево от .
Этап 2.8.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.8.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.8.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.8.5
Объединим дроби.
Этап 2.8.5.1
Добавим и .
Этап 2.8.5.2
Умножим на .
Этап 2.8.5.3
Объединим и .
Этап 2.8.5.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.9
Упростим.
Этап 2.9.1
Применим правило умножения к .
Этап 2.9.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.9.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.9.4
Упростим числитель.
Этап 2.9.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.4.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.4.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.4.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.4.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.4.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.4.2
Объединим показатели степеней.
Этап 2.9.4.2.1
Умножим на .
Этап 2.9.4.2.2
Умножим на .
Этап 2.9.4.3
Упростим каждый член.
Этап 2.9.4.3.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 2.9.4.3.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.9.4.3.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.9.4.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.9.4.3.2
Объединим противоположные члены в .
Этап 2.9.4.3.2.1
Изменим порядок множителей в членах и .
Этап 2.9.4.3.2.2
Добавим и .
Этап 2.9.4.3.2.3
Добавим и .
Этап 2.9.4.3.3
Упростим каждый член.
Этап 2.9.4.3.3.1
Умножим на .
Этап 2.9.4.3.3.2
Умножим на .
Этап 2.9.4.3.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.9.4.3.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.9.4.3.5.1
Перенесем .
Этап 2.9.4.3.5.2
Умножим на .
Этап 2.9.4.3.6
Умножим на .
Этап 2.9.4.3.7
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.9.4.3.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 2.9.4.3.8.1
Перенесем .
Этап 2.9.4.3.8.2
Умножим на .
Этап 2.9.4.3.9
Умножим на .
Этап 2.9.4.4
Объединим противоположные члены в .
Этап 2.9.4.4.1
Добавим и .
Этап 2.9.4.4.2
Добавим и .
Этап 2.9.4.5
Вычтем из .
Этап 2.9.4.6
Вычтем из .
Этап 2.9.5
Объединим термины.
Этап 2.9.5.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.9.5.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.9.5.1.2
Умножим на .
Этап 2.9.5.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.9.5.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.9.5.2.2
Умножим на .
Этап 2.9.5.3
Сократим общий множитель и .
Этап 2.9.5.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.5.3.2
Сократим общие множители.
Этап 2.9.5.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.5.3.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.9.5.3.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.9.5.4
Сократим общий множитель и .
Этап 2.9.5.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.5.4.2
Сократим общие множители.
Этап 2.9.5.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.5.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.9.5.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.9.6
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.7
Перепишем в виде .
Этап 2.9.8
Вынесем множитель из .
Этап 2.9.9
Перепишем в виде .
Этап 2.9.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.9.11
Умножим на .
Этап 2.9.12
Умножим на .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Этап 4.1.1
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.1.2
Продифференцируем.
Этап 4.1.2.1
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.2.2
Перенесем влево от .
Этап 4.1.2.3
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.2.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.2.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.2.6
Упростим выражение.
Этап 4.1.2.6.1
Добавим и .
Этап 4.1.2.6.2
Умножим на .
Этап 4.1.3
Возведем в степень .
Этап 4.1.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.1.5
Добавим и .
Этап 4.1.6
Упростим.
Этап 4.1.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.6.3
Упростим числитель.
Этап 4.1.6.3.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.6.3.1.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.1.6.3.1.1.1
Перенесем .
Этап 4.1.6.3.1.1.2
Умножим на .
Этап 4.1.6.3.1.1.2.1
Возведем в степень .
Этап 4.1.6.3.1.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.1.6.3.1.1.3
Добавим и .
Этап 4.1.6.3.1.2
Умножим на .
Этап 4.1.6.3.2
Объединим противоположные члены в .
Этап 4.1.6.3.2.1
Вычтем из .
Этап 4.1.6.3.2.2
Добавим и .
Этап 4.1.6.4
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.1.6.5
Упростим знаменатель.
Этап 4.1.6.5.1
Перепишем в виде .
Этап 4.1.6.5.2
Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, , где и .
Этап 4.1.6.5.3
Применим правило умножения к .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Приравняем числитель к нулю.
Этап 5.3
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 5.3.1
Разделим каждый член на .
Этап 5.3.2
Упростим левую часть.
Этап 5.3.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 5.3.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 5.3.2.1.2
Разделим на .
Этап 5.3.3
Упростим правую часть.
Этап 5.3.3.1
Разделим на .
Этап 6
Этап 6.1
Зададим знаменатель в равным , чтобы узнать, где данное выражение не определено.
Этап 6.2
Решим относительно .
Этап 6.2.1
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 6.2.2
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 6.2.2.1
Приравняем к .
Этап 6.2.2.2
Решим относительно .
Этап 6.2.2.2.1
Приравняем к .
Этап 6.2.2.2.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 6.2.3
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 6.2.3.1
Приравняем к .
Этап 6.2.3.2
Решим относительно .
Этап 6.2.3.2.1
Приравняем к .
Этап 6.2.3.2.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 6.2.4
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 6.3
Уравнение не определено, если знаменатель равен , аргумент под знаком квадратного корня меньше или аргумент под знаком логарифма меньше или равен .
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Этап 9.1
Упростим числитель.
Этап 9.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.1.2
Умножим на .
Этап 9.1.3
Добавим и .
Этап 9.2
Упростим знаменатель.
Этап 9.2.1
Перепишем в виде .
Этап 9.2.2
Перепишем в виде .
Этап 9.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 9.2.4
Применим правило умножения к .
Этап 9.2.5
Возведем в степень .
Этап 9.2.6
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 9.2.6.1
Перенесем .
Этап 9.2.6.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 9.2.6.3
Добавим и .
Этап 9.3
Умножим на .
Этап 9.4
Упростим знаменатель.
Этап 9.4.1
Вычтем из .
Этап 9.4.2
Возведем в степень .
Этап 9.5
Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.
Этап 9.5.1
Умножим на .
Этап 9.5.2
Сократим общий множитель и .
Этап 9.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.5.2.2
Сократим общие множители.
Этап 9.5.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 9.5.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 9.5.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 9.5.3
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 10
— локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
— локальный максимум
Этап 11
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Этап 11.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 11.2.2
Упростим знаменатель.
Этап 11.2.2.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 11.2.2.2
Вычтем из .
Этап 11.2.3
Разделим на .
Этап 11.2.4
Окончательный ответ: .
Этап 12
Это локальные экстремумы .
— локальный максимум
Этап 13