Математический анализ Примеры

$f (x) = e^{x} \cos (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = e^{x}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

$e^{x} \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)] + \frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- e^{x} \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{x} \sin (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [e^{x} \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - \frac{d}{d x} (e^{x} \sin (x)) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Этап 2.2.2

$f'' (x) = - (e^{x} \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Этап 2.2.3

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (e^{x})) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Этап 2.2.4

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x} \cos (x))$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [e^{x} \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (e^{x})$

Этап 2.3.3

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x) + \sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - (e^{x} \cos (x)) - (\sin (x) e^{x}) + e^{x} (- \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Этап 2.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Изменим порядок $e^{x}$ и $- 1$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - 1 \cdot (e^{x} \sin (x)) + \cos (x) e^{x}$

Этап 2.4.2.2

Перепишем $- 1 e^{x}$ в виде $- e^{x}$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - e^{x} \sin (x) - e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Этап 2.4.2.3

Вычтем $e^{x} \sin (x)$ из $- e^{x} \sin (x)$ .

$f'' (x) = - e^{x} \cos (x) - 2 e^{x} \sin (x) + \cos (x) e^{x}$

Этап 2.4.2.4

Добавим $- e^{x} \cos (x)$ и $\cos (x) e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.4.1

Изменим порядок $\cos (x)$ и $e^{x}$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) - e^{x} \cos (x) + e^{x} \cos (x)$

Этап 2.4.2.4.2

Добавим $- e^{x} \cos (x)$ и $e^{x} \cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x) + 0$

Этап 2.4.2.5

Добавим $- 2 e^{x} \sin (x)$ и $0$ .

$f'' (x) = - 2 e^{x} \sin (x)$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x) = 0$

Этап 4

Разложим $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \sin (x) + e^{x} \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $e^{x}$ из $- e^{x} \sin (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x) = 0$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель $e^{x}$ из $e^{x} (- 1 \sin (x)) + e^{x} \cos (x)$ .

$e^{x} (- 1 \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Этап 4.2

Перепишем $- 1 \sin (x)$ в виде $- \sin (x)$ .

$e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$

Этап 5

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$e^{x} = 0$

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 6

Приравняем $e^{x}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем $e^{x}$ к $0$ .

$e^{x} = 0$

Этап 6.2

Решим $e^{x} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Этап 6.2.2

Уравнение невозможно решить, так как выражение $\ln (0)$ не определено.

Неопределенные

Этап 6.2.3

Нет решения для $e^{x} = 0$

Нет решения

Этап 7

Приравняем $- \sin (x) + \cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Приравняем $- \sin (x) + \cos (x)$ к $0$ .

$- \sin (x) + \cos (x) = 0$

Этап 7.2

Решим $- \sin (x) + \cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Разделим каждый член уравнения на $\cos (x)$ .

$\frac{- \sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.2

Разделим дроби.

$\frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.3

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{- 1}{1} \cdot \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.5

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Сократим общий множитель.

$- \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.5.2

Перепишем это выражение.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Этап 7.2.6

Разделим дроби.

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Этап 7.2.7

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Этап 7.2.8

Разделим $0$ на $1$ .

$- \tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Этап 7.2.9

Умножим $0$ на $\sec (x)$ .

$- \tan (x) + 1 = 0$

Этап 7.2.10

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- \tan (x) = - 1$

Этап 7.2.11

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.1

Разделим каждый член $- \tan (x) = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- \tan (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.11.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\tan (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.11.2.2

Разделим $\tan (x)$ на $1$ .

$\tan (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 7.2.11.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.11.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$\tan (x) = 1$

Этап 7.2.12

Возьмем обратный тангенс обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из тангенса.

$x = \arctan (1)$

Этап 7.2.13

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.13.1

Точное значение $\arctan (1)$ : $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Этап 7.2.14

Функция тангенса положительна в первом и третьем квадрантах. Для нахождения второго решения прибавим угол приведения из $π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = π + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.15

Упростим $π + \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.1

Чтобы записать $π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.15.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.2.1

Объединим $π$ и $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Этап 7.2.15.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Этап 7.2.15.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.15.3.1

Перенесем $4$ влево от $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Этап 7.2.15.3.2

Добавим $4 π$ и $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Этап 7.2.16

Решение уравнения $x = \frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 8

Окончательным решением являются все значения, при которых $e^{x} (- \sin (x) + \cos (x)) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{4}, \frac{5 π}{4}$

Этап 9

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \sin (\frac{π}{4})$

Этап 10

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{π}{4}} \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{\frac{π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10.2.2

Сократим общий множитель.

$2 (- e^{\frac{π}{4}}) \frac{\sqrt{2}}{2}$

Этап 10.2.3

Перепишем это выражение.

$- e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}$

Этап 11

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{4}$ — локальный максимум

Этап 12

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{4}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} \cos (\frac{π}{4})$

Этап 12.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.2.1

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = e^{\frac{π}{4}} (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 12.2.2

Объединим $e^{\frac{π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{π}{4}) = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 12.2.3

Окончательный ответ: $\frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 13

Найдем вторую производную в $x = \frac{5 π}{4}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \sin (\frac{5 π}{4})$

Этап 14

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в третьем квадранте.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \sin (\frac{π}{4}))$

Этап 14.2

Точное значение $\sin (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 14.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ в числитель.

$- 2 e^{\frac{5 π}{4}} \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 14.3.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{\frac{5 π}{4}}$ .

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 14.3.3

Сократим общий множитель.

$2 (- e^{\frac{5 π}{4}}) \frac{- \sqrt{2}}{2}$

Этап 14.3.4

Перепишем это выражение.

$- e^{\frac{5 π}{4}} (- \sqrt{2})$

Этап 14.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Этап 14.4.2

Умножим $e^{\frac{5 π}{4}}$ на $1$ .

$e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}$

Этап 15

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{5 π}{4}$ — локальный минимум

Этап 16

Найдем значение y, если $x = \frac{5 π}{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{5 π}{4}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} \cos (\frac{5 π}{4})$

Этап 16.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.2.1

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный в третьем квадранте.

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \cos (\frac{π}{4}))$

Этап 16.2.2

Точное значение $\cos (\frac{π}{4})$ : $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = e^{\frac{5 π}{4}} (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Этап 16.2.3

Объединим $e^{\frac{5 π}{4}}$ и $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{4}) = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 16.2.4

Окончательный ответ: $- \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$ .

$y = - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2}$

Этап 17

Это локальные экстремумы $f (x) = e^{x} \cos (x)$ .

$(\frac{π}{4}, \frac{e^{\frac{π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ — локальный максимум

$(\frac{5 π}{4}, - \frac{e^{\frac{5 π}{4}} \sqrt{2}}{2})$ — локальный минимум

Этап 18