Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{4 x}{x^{2} + 4}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 4}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 4$ .

$4 \frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x^{2} + 4$ на $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 4]}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$4 \frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $4$ и $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{4 (- x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 1.10.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 16) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 4)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 16) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2 \cdot 2}}$

Этап 2.2.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} \frac{d}{d x} (- 4 x^{2} + 16) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.2.2

По правилу суммы производная $- 4 x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x + \frac{d}{d x} (16)) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.2.6

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x + 0) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.2.7

Добавим $- 8 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 4)}^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - (- 4 x^{2} + 16) (2 (x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x^{2} + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (2 x + \frac{d}{d x} (4)))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) (2 x))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 4$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 2 (- 4 x^{2} + 16) (2 \cdot ((x^{2} + 4) x))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.4.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) - 4 (- 4 x^{2} + 16) ((x^{2} + 4) x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) ((x^{2} + 4) x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{{(x^{2} + 4)}^{2} (- 8 x) + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 8 {(x^{2} + 4)}^{2} x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} + 4)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 ((x^{2} + 4) (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3

Развернем $(x^{2} + 4) (x^{2} + 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} (x^{2} + 4) + 4 (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 (x^{2} + 4)) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + x^{2} \cdot 4 + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.2

Перенесем $4$ влево от $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 4 \cdot x^{2} + 4 x^{2} + 4 \cdot 4) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.1.3

Умножим $4$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 4 x^{2} + 4 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.4.2

Добавим $4 x^{2}$ и $4 x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x^{4} + 8 x^{2} + 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 8 (8 x^{2}) - 8 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.6.1

Умножим $8$ на $- 8$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 64 x^{2} - 8 \cdot 16) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.6.2

Умножим $- 8$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{(- 8 x^{4} - 64 x^{2} - 128) x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{4} x - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (x \cdot x^{4}) - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{1 + 4} - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{2} x - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 (x \cdot x^{2}) - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{1 + 2} - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (- 4 (- 4 x^{2}) - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.9.1

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 4 \cdot 16) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $16$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{2} x + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{2 + 1} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + (16 x^{2} - 64) (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11

Развернем $(16 x^{2} - 64) (x^{3} + 4 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{2} (x^{3} + 4 x) - 64 (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (4 x) - 64 (x^{3} + 4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{2} x^{3} + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 (x^{3} x^{2}) + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{3 + 2} + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 x^{2} (4 x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 x^{2} x) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 (x \cdot x^{2})) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 x^{1 + 2}) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 16 \cdot (4 x^{3}) - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.4

Умножим $16$ на $4$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 64 (4 x)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.1.5

Умножим $4$ на $- 64$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 64 x^{3} - 64 x^{3} - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.2

Вычтем $64 x^{3}$ из $64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} + 0 - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.1.12.3

Добавим $16 x^{5}$ и $0$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x + 16 x^{5} - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.2

Добавим $- 8 x^{5}$ и $16 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 64 x^{3} - 128 x - 256 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.3.3

Вычтем $256 x$ из $- 128 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x^{5} - 64 x^{3} - 384 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{5} - 64 x^{3} - 384 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.1.1

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x^{5}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) - 64 x^{3} - 384 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.2

Вынесем множитель $8 x$ из $- 64 x^{3}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 8 x^{2}) - 384 x}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.3

Вынесем множитель $8 x$ из $- 384 x$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4}) + 8 x (- 8 x^{2}) + 8 x (- 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.4

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{4}) + 8 x (- 8 x^{2})$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 8 x^{2}) + 8 x (- 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.1.5

Вынесем множитель $8 x$ из $8 x (x^{4} - 8 x^{2}) + 8 x (- 48)$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{4} - 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x ({(x^{2})}^{2} - 8 x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$f'' (x) = \frac{8 x (u^{2} - 8 u - 48)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.4

Разложим $u^{2} - 8 u - 48$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 48$ , а сумма — $- 8$ .

$- 12, 4$

Этап 2.5.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$f'' (x) = \frac{8 x ((u - 12) (u + 4))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 12) (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ и ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из $8 x (x^{2} - 12) (x^{2} + 4)$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (8 x (x^{2} - 12))}{{(x^{2} + 4)}^{4}}$

Этап 2.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 4$ из ${(x^{2} + 4)}^{4}$ .

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (8 x (x^{2} - 12))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 2.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = \frac{(x^{2} + 4) (8 x (x^{2} - 12))}{(x^{2} + 4) {(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 2.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = \frac{8 x (x^{2} - 12)}{{(x^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = 4 \frac{d}{d x} (\frac{x}{x^{2} + 4})$

Этап 4.1.2

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 4) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{(x^{2} + 4) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.3.2

Умножим $x^{2} + 4$ на $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + \frac{d}{d x} (4))}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.3.5

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - x (2 x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = 4 (\frac{x^{2} + 4 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = 4 (\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}})$

Этап 4.1.9

Объединим $4$ и $\frac{- x^{2} + 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2} + 4)}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4.1.10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = \frac{4 (- x^{2}) + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4.1.10.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.10.2.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 4 \cdot 4}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4.1.10.2.2

Умножим $4$ на $4$ .

$f' (x) = \frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$\frac{- 4 x^{2} + 16}{{(x^{2} + 4)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 4 x^{2} + 16 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $16$ из обеих частей уравнения.

$- 4 x^{2} = - 16$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 16$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- 4 x^{2} = - 16$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 x^{2}}{- 4} = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 16}{- 4}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $- 16$ на $- 4$ .

$x^{2} = 4$

Этап 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 5.3.4

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 (2) ({(2)}^{2} - 12)}{{({(2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $8$ на $2$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{{(2^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{8^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{16 (2^{2} - 12)}{512}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$\frac{16 (4 - 12)}{512}$

Этап 9.3.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$\frac{16 \cdot - 8}{512}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $16$ на $- 8$ .

$\frac{- 128}{512}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $- 128$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $128$ из $- 128$ .

$\frac{128 (- 1)}{512}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Вынесем множитель $128$ из $512$ .

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 4}$

Этап 9.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot - 1}{128 \cdot 4}$

Этап 9.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{4}$

Этап 9.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{4}$

Этап 10

$x = 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = \frac{4 (2)}{{(2)}^{2} + 4}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $4$ на $2$ .

$f (2) = \frac{8}{2^{2} + 4}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (2) = \frac{8}{4 + 4}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$f (2) = \frac{8}{8}$

Этап 11.2.3

Разделим $8$ на $8$ .

$f (2) = 1$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$\frac{8 (- 2) ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $8$ на $- 2$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{({(- 2)}^{2} + 4)}^{3}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{{(4 + 4)}^{3}}$

Этап 13.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{8^{3}}$

Этап 13.2.3

Возведем $8$ в степень $3$ .

$\frac{- 16 ({(- 2)}^{2} - 12)}{512}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$\frac{- 16 (4 - 12)}{512}$

Этап 13.3.2

Вычтем $12$ из $4$ .

$\frac{- 16 \cdot - 8}{512}$

Этап 13.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $- 16$ на $- 8$ .

$\frac{128}{512}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $128$ и $512$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $128$ из $128$ .

$\frac{128 (1)}{512}$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $128$ из $512$ .

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{128 \cdot 1}{128 \cdot 4}$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{4}$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{4 (- 2)}{{(- 2)}^{2} + 4}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $4$ на $- 2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{{(- 2)}^{2} + 4}$

Этап 15.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $- 2$ в степень $2$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{4 + 4}$

Этап 15.2.2.2

Добавим $4$ и $4$ .

$f (- 2) = \frac{- 8}{8}$

Этап 15.2.3

Разделим $- 8$ на $8$ .

$f (- 2) = - 1$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $- 1$ .

$y = - 1$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = \frac{4 x}{x^{2} + 4}$ .

$(2, 1)$ — локальный максимум

$(- 2, - 1)$ — локальный минимум

Этап 17