Математический анализ Примеры

$f (x) = a x^{2} + b x + c$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $a x^{2} + b x + c$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x^{2}$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.2.3

Перенесем $2$ влево от $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b x$ по $x$ равна $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.3.3

Умножим $b$ на $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 1.4

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 a x + b + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $2 a x + b$ и $0$ .

$2 a x + b$

Этап 1.5.2

Изменим порядок членов.

$b + 2 a x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $b + 2 a x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [b] + \frac{d}{d x} [2 a x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (b) + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Этап 2.1.2

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (2 a x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 a x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2 a$ является константой относительно $x$ , производная $2 a x$ по $x$ равна $2 a \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \frac{d}{d x} (x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a \cdot 1$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 a$

Этап 2.3

Добавим $0$ и $2 a$ .

$f'' (x) = 2 a$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$b + 2 a x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $a x^{2} + b x + c$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$ .

$\frac{d}{d x} [a x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [a x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $a$ является константой относительно $x$ , производная $a x^{2}$ по $x$ равна $a \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$a \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$a (2 x) + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 4.1.2.3

Перенесем $2$ влево от $a$ .

$2 a x + \frac{d}{d x} [b x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [b x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $b$ является константой относительно $x$ , производная $b x$ по $x$ равна $b \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 a x + b \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 a x + b \cdot 1 + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 4.1.3.3

Умножим $b$ на $1$ .

$2 a x + b + \frac{d}{d x} [c]$

Этап 4.1.4

Поскольку $c$ является константой относительно $x$ , производная $c$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 a x + b + 0$

Этап 4.1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.5.1

Добавим $2 a x + b$ и $0$ .

$2 a x + b$

Этап 4.1.5.2

Изменим порядок членов.

$f' (x) = b + 2 a x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $b + 2 a x$ .

$b + 2 a x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $b + 2 a x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$b + 2 a x = 0$

Этап 5.2

Вычтем $b$ из обеих частей уравнения.

$2 a x = - b$

Этап 5.3

Разделим каждый член $2 a x = - b$ на $2 a$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $2 a x = - b$ на $2 a$ .

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 a x}{2 a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 5.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 5.3.2.2

Сократим общий множитель $a$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{a x}{a} = \frac{- b}{2 a}$

Этап 5.3.2.2.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{- b}{2 a}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = - \frac{b}{2 a}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = - \frac{b}{2 a}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 a$

Этап 9

Так как первая производная не изменила знак, локальные экстремумы отсутствуют.

Нет локальных экстремумов

Этап 10