Математический анализ Примеры

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(y\right)g\left(y\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(y\right)\frac{d}{dy}\left[g\left(y\right)\right]+g\left(y\right)\frac{d}{dy}\left[f\left(y\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=y}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)=e^{-\frac{16x^2+9y^2}{288}}}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=e^y}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)=-\frac{16x^2+9y^2}{288}}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{288}}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle -\frac{16x^2+9y^2}{288}}$ по ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{288}\frac{d}{dy}[16x^2+9y^2]}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 16x^2+9y^2}$ по ${\displaystyle y}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[16x^2\right]+\frac{d}{dy}\left[9y^2\right]}$.

Поскольку ${\displaystyle 16x^2}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle 16x^2}$ относительно ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle 0}$.

Поскольку ${\displaystyle 9}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle 9y^2}$ по ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle 9\frac{d}{dy}\left[y^2\right]}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=2}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Умножим ${\displaystyle 2}$ на ${\displaystyle 9}$.

Добавим ${\displaystyle 0}$ и ${\displaystyle 18y}$.

Умножим ${\displaystyle 18}$ на ${\displaystyle -1}$.

Объединим ${\displaystyle -18}$ и ${\displaystyle \frac{1}{288}}$.

Объединим ${\displaystyle \frac{-18}{288}}$ и ${\displaystyle y}$.

Сократим общий множитель ${\displaystyle -18}$ и ${\displaystyle 288}$.

Вынесем знак минуса перед дробью.

Объединим ${\displaystyle e^{-\frac{16x^2+9y^2}{288}}}$ и ${\displaystyle \frac{y}{16}}$.

Объединим ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle \frac{e^{-\frac{16x^2+9y^2}{288}}y}{16}}$.

Возведем ${\displaystyle y}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle y}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Умножим ${\displaystyle e^{-\frac{16x^2+9y^2}{288}}}$ на ${\displaystyle 1}$.

Чтобы записать ${\displaystyle e^{-\frac{16x^2+9y^2}{288}}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на ${\displaystyle \frac{16}{16}}$.

Объединим ${\displaystyle e^{-\frac{16x^2+9y^2}{288}}}$ и ${\displaystyle \frac{16}{16}}$.

Объединим числители над общим знаменателем.

Перенесем ${\displaystyle 16}$ влево от ${\displaystyle e^{-\frac{16x^2+9y^2}{288}}}$.

Объединим ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle \frac{x}{9}}$.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Возведем ${\displaystyle x}$ в степень ${\displaystyle 1}$.

Применим правило степени ${\displaystyle a^m{a}^n=a^{m+n}}$ для объединения показателей.

Добавим ${\displaystyle 1}$ и ${\displaystyle 1}$.

Объединим ${\displaystyle y}$ и ${\displaystyle \frac{x^2}{9}}$.

Объединим ${\displaystyle e^{-\frac{16x^2+y^2}{288}}}$ и ${\displaystyle \frac{y{x}^2}{9}}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{x^2}{9}}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle -\frac{e^{-\frac{16x^2+y^2}{288}}\left(y{x}^2\right)}{9}}$ по ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle -\frac{x^2}{9}\frac{d}{dy}\left[e^{-\frac{16x^2+y^2}{288}}\left(y\right)\right]}$.

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(y\right)g\left(y\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\left(y\right)\frac{d}{dy}\left[g\left(y\right)\right]+g\left(y\right)\frac{d}{dy}\left[f\left(y\right)\right]}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=e^{-\frac{16x^2+y^2}{288}}}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)=y}$.

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[y^n\right]}$ имеет вид ${\displaystyle n{y}^{n-1}}$, где ${\displaystyle n=1}$.

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[f\left(g\left(y\right)\right)\right]}$ имеет вид ${\displaystyle f\prime \left(g\left(y\right)\right)g\prime \left(y\right)}$, где ${\displaystyle f\left(y\right)=e^y}$ и ${\displaystyle g\left(y\right)=-\frac{16x^2+y^2}{288}}$.

Поскольку ${\displaystyle -\frac{1}{288}}$ является константой относительно ${\displaystyle y}$, производная ${\displaystyle -\frac{16x^2+y^2}{288}}$ по ${\displaystyle y}$ равна ${\displaystyle -\frac{1}{288}\frac{d}{dy}[16x^2+y^2]}$.

По правилу суммы производная ${\displaystyle 16x^2+y^2}$ по ${\displaystyle y}$ имеет вид ${\displaystyle \frac{d}{dy}\left[16x^2\right]+\frac{d}{dy}\left[y^2\right]}$.