Математический анализ Примеры

$f (x) = \frac{c^{8} - x^{8}}{c^{8} + x^{8}}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [\frac{f (c)}{g (c)}]$ имеет вид $\frac{g (c) \frac{d}{d c} [f (c)] - f (c) \frac{d}{d c} [g (c)]}{{g (c)}^{2}}$ , где $f (c) = c^{8} - x^{8}$ и $g (c) = c^{8} + x^{8}$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} - x^{8}] - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $c^{8} - x^{8}$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [- x^{8}]) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- x^{8}$ является константой относительно $c$ , производная $- x^{8}$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7} + 0) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $8 c^{7}$ и $0$ .

$\frac{(c^{8} + x^{8}) (8 c^{7}) - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.4.2

Перенесем $8$ влево от $c^{8} + x^{8}$ .

$\frac{8 \cdot (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) \frac{d}{d c} [c^{8} + x^{8}]}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $c^{8} + x^{8}$ по $c$ имеет вид $\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}]$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (\frac{d}{d c} [c^{8}] + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d c} [c^{n}]$ имеет вид $n c^{n - 1}$ , где $n = 8$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + \frac{d}{d c} [x^{8}])}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $x^{8}$ является константой относительно $c$ , производная $x^{8}$ относительно $c$ равна $0$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7} + 0)}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.8

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.8.1

Добавим $8 c^{7}$ и $0$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - (c^{8} - x^{8}) (8 c^{7})}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 2.8.2

Умножим $8$ на $- 1$ .

$\frac{8 (c^{8} + x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{(8 c^{8} + 8 x^{8}) c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 (c^{8} - x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} + (- 8 c^{8} - 8 (- x^{8})) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Объединим противоположные члены в $8 c^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7} - 8 c^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1.1

Вычтем $8 c^{8} c^{7}$ из $8 c^{8} c^{7}$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 0 - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3.5.1.2

Добавим $8 x^{8} c^{7}$ и $0$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} - 8 (- x^{8}) c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3.5.2

Умножим $- 1$ на $- 8$ .

$\frac{8 x^{8} c^{7} + 8 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$

Этап 3.5.3

Добавим $8 x^{8} c^{7}$ и $8 x^{8} c^{7}$ .

$\frac{16 x^{8} c^{7}}{{(c^{8} + x^{8})}^{2}}$