Математический анализ Примеры

$f (x) = 6 \cot (x^{3} - 2 x^{2})$

Этап 1

Поскольку $6$ является константой относительно $x$ , производная $6 \cot (x^{3} - 2 x^{2})$ по $x$ равна $6 \frac{d}{d x} [\cot (x^{3} - 2 x^{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cot (x^{3} - 2 x^{2})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \cot (x)$ и $g (x) = x^{3} - 2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

Этап 2.2

Производная $\cot (u)$ по $u$ равна $- \csc^{2} (u)$ .

$6 (- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{3} - 2 x^{2}$ .

$6 (- \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 6 (\csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{3} - 2 x^{2}])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{3} - 2 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}])$

Этап 3.4

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 2 (2 x))$

Этап 3.6

Умножим $2$ на $- 2$ .

$- 6 \csc^{2} (x^{3} - 2 x^{2}) (3 x^{2} - 4 x)$