Математический анализ Примеры

$f (x) = 4 \csc (2 x^{3} - 1)$

Этап 1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 \csc (2 x^{3} - 1)$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{3} - 1)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\csc (2 x^{3} - 1)]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \csc (x)$ и $g (x) = 2 x^{3} - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x^{3} - 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [\csc (u)] \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

Этап 2.2

Производная $\csc (u)$ по $u$ равна $- \csc (u) \cot (u)$ .

$4 (- \csc (u) \cot (u) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x^{3} - 1$ .

$4 (- \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим $- 1$ на $4$ .

$- 4 (\csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) \frac{d}{d x} [2 x^{3} - 1])$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $2 x^{3} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x^{3}$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.5

Умножим $3$ на $2$ .

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1])$

Этап 3.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (6 x^{2} + 0)$

Этап 3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Добавим $6 x^{2}$ и $0$ .

$- 4 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) (6 x^{2})$

Этап 3.7.2

Умножим $6$ на $- 4$ .

$- 24 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) x^{2}$

Этап 3.7.3

Изменим порядок множителей в $- 24 \csc (2 x^{3} - 1) \cot (2 x^{3} - 1) x^{2}$ .

$- 24 x^{2} \cot (2 x^{3} - 1) \csc (2 x^{3} - 1)$