Математический анализ Примеры

$f (x) = - 4 x {(x + 2)}^{3}$

Этап 1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x {(x + 2)}^{3}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x {(x + 2)}^{3}]$

Этап 2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x + 2)}^{3}$ .

$- 4 (x \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{3}] + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x + 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x + 2$ .

$- 4 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$- 4 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \frac{d}{d x} [x + 2]) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [2])) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.3

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} (1 + 0)) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2} \cdot 1) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3} \cdot 1)$

Этап 4.6

Умножим ${(x + 2)}^{3}$ на $1$ .

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2}) + {(x + 2)}^{3})$

Этап 5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 4 (x (3 {(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Этап 5.2

Умножим $3$ на $- 4$ .

$- 12 (x ({(x + 2)}^{2})) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Этап 5.3

Вынесем множитель $4 {(x + 2)}^{2}$ из $- 12 x {(x + 2)}^{2} - 4 {(x + 2)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вынесем множитель $4 {(x + 2)}^{2}$ из $- 12 x {(x + 2)}^{2}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) - 4 {(x + 2)}^{3}$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $4 {(x + 2)}^{2}$ из $- 4 {(x + 2)}^{3}$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$

Этап 5.3.3

Вынесем множитель $4 {(x + 2)}^{2}$ из $4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x) + 4 {(x + 2)}^{2} (- (x + 2))$ .

$4 {(x + 2)}^{2} (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.4

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$4 ((x + 2) (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.5

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x (x + 2) + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.5.3

Применим свойство дистрибутивности.

$4 (x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.6

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$4 (x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.6.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$4 (x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.6.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$4 (x^{2} + 2 x + 2 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.6.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$4 (x^{2} + 4 x + 4) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.7

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 4 (4 x) + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Умножим $4$ на $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 4 \cdot 4) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.8.2

Умножим $4$ на $4$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - (x + 2))$

Этап 5.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 1 \cdot 2)$

Этап 5.9.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 3 x - x - 2)$

Этап 5.10

Вычтем $x$ из $- 3 x$ .

$(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$

Этап 5.11

Развернем $(4 x^{2} + 16 x + 16) (- 4 x - 2)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$4 x^{2} (- 4 x) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 \cdot - 4 x^{2} x + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.1

Перенесем $x$ .

$4 \cdot - 4 (x \cdot x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 \cdot - 4 (x^{1} x^{2}) + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 \cdot - 4 x^{1 + 2} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 \cdot - 4 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.3

Умножим $4$ на $- 4$ .

$- 16 x^{3} + 4 x^{2} \cdot - 2 + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.4

Умножим $- 2$ на $4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 x (- 4 x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x \cdot x + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.6

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.12.6.1

Перенесем $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 (x \cdot x) + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.6.2

Умножим $x$ на $x$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} + 16 \cdot - 4 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.7

Умножим $16$ на $- 4$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 16 x \cdot - 2 + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.8

Умножим $- 2$ на $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x + 16 (- 4 x) + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.9

Умножим $- 4$ на $16$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x + 16 \cdot - 2$

Этап 5.12.10

Умножим $16$ на $- 2$ .

$- 16 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Этап 5.13

Вычтем $64 x^{2}$ из $- 8 x^{2}$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 32 x - 64 x - 32$

Этап 5.14

Вычтем $64 x$ из $- 32 x$ .

$- 16 x^{3} - 72 x^{2} - 96 x - 32$