Математический анализ Примеры

$g (y) = \frac{y - 1}{y^{2} - y + 1}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ имеет вид $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ , где $f (y) = y - 1$ и $g (y) = y^{2} - y + 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \frac{d}{d y} [y - 1] - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $y - 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + \frac{d}{d y} [- 1]) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.3

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- 1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) (1 + 0) - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$\frac{(y^{2} - y + 1) \cdot 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.4.2

Умножим $y^{2} - y + 1$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) \frac{d}{d y} [y^{2} - y + 1]}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.5

По правилу суммы производная $y^{2} - y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y + \frac{d}{d y} [- y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.7

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.9

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + \frac{d}{d y} [1])}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.10

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1 + 0)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 2.11

Добавим $2 y - 1$ и $0$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - (y - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y - - 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 + (- y + 1) (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2

Развернем $(- y + 1) (2 y - 1)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y - 1) + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y - 1)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{y^{2} - y + 1 - y (2 y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y \cdot y - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2

Умножим $y$ на $y$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.2.1

Перенесем $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 (y \cdot y) - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.2.2

Умножим $y$ на $y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 1 \cdot 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} - y \cdot - 1 + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.4

Умножим $- y \cdot - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.3.1.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 1 y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.4.2

Умножим $y$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 1 (2 y) + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.5

Умножим $2 y$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y + 1 \cdot - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.1.6

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + y + 2 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.1.3.2

Добавим $y$ и $2 y$ .

$\frac{y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2

Объединим противоположные члены в $y^{2} - y + 1 - 2 y^{2} + 3 y - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y + 0}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.2.2

Добавим $y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y$ и $0$ .

$\frac{y^{2} - y - 2 y^{2} + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.3

Вычтем $2 y^{2}$ из $y^{2}$ .

$\frac{- y^{2} - y + 3 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.2.4

Добавим $- y$ и $3 y$ .

$\frac{- y^{2} + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.3

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2} + 2 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $- y^{2}$ .

$\frac{y (- y) + 2 y}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$\frac{y (- y) + y \cdot 2}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y (- y) + y \cdot 2$ .

$\frac{y (- y + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- y$ .

$\frac{y (- (y) + 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.5

Перепишем $2$ в виде $- 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y) - 1 (- 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (y) - 1 (- 2)$ .

$\frac{y (- (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.7

Перепишем $- (y - 2)$ в виде $- 1 (y - 2)$ .

$\frac{y (- 1 (y - 2))}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$

Этап 3.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{y (y - 2)}{{(y^{2} - y + 1)}^{2}}$