Математический анализ Примеры

$f (x) = \ln (e^{x} + 1)$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = e^{x} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 1.2

Производная $\ln (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x} + 1$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} (e^{x} + 0)$

Этап 4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{1}{e^{x} + 1} e^{x}$

Этап 4.2.2

Объединим $\frac{1}{e^{x} + 1}$ и $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{e^{x} + 1}$