Математический анализ Примеры

$f (x) = \arctan (e^{x})$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \arctan (x)$ и $g (x) = e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.2

Производная $\arctan (u)$ по $u$ равна $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u$ на $e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2

Перемножим экспоненты в ${(e^{x})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 2.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x}$

Этап 4

Объединим $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ и $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$