Математический анализ Примеры

$f (x) = \sin (\sqrt{e^{x} + 1})$

Этап 1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{e^{x} + 1}$ в виде ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [\sin ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = \sin (x)$ и $g (x) = {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.2

Производная $\sin (u_{1})$ по $u_{1}$ равна $\cos (u_{1})$ .

$\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на ${(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} [{(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}]$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $e^{x} + 1$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = \frac{1}{2}$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $e^{x} + 1$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 4

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 5

Объединим $- 1$ и $\frac{2}{2}$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 6

Объединим числители над общим знаменателем.

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 7

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 7.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 8

Продифференцируем, используя правило суммы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2} {(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 8.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и ${(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{{(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 8.2.2

Перенесем ${(e^{x} + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) (\frac{1}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1])$

Этап 8.2.3

Объединим $\frac{1}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Этап 8.3

По правилу суммы производная $e^{x} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 9

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + \frac{d}{d x} [1])$

Этап 10

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} (e^{x} + 0)$

Этап 10.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Добавим $e^{x}$ и $0$ .

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}} e^{x}$

Этап 10.2.2

Объединим $\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$ и $e^{x}$ .

$\frac{\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) e^{x}}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 10.2.3

Изменим порядок множителей в $\cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}) e^{x}$ .

$\frac{e^{x} \cos ({(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(e^{x} + 1)}^{\frac{1}{2}}}$