Математический анализ Примеры

$f (x) = x {(x - 4)}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{3}$ и $g (x) = x - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x - 4$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x - 4$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $x - 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.3

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4$ относительно $x$ равна $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Добавим $1$ и $0$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.4.2

Умножим $3$ на $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1$

Этап 3.6

Умножим ${(x - 4)}^{3}$ на $1$ .

$x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$

Этап 4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель ${(x - 4)}^{2}$ из $x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель ${(x - 4)}^{2}$ из $x (3 {(x - 4)}^{2})$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{3}$

Этап 4.1.2

Вынесем множитель ${(x - 4)}^{2}$ из ${(x - 4)}^{3}$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

Этап 4.1.3

Вынесем множитель ${(x - 4)}^{2}$ из ${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3)) + {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ .

${(x - 4)}^{2} (x \cdot (3) + x - 4)$

Этап 4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перенесем $3$ влево от $x$ .

${(x - 4)}^{2} (3 \cdot x + x - 4)$

Этап 4.2.2

Добавим $3 x$ и $x$ .

${(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

Этап 4.3

Перепишем ${(x - 4)}^{2}$ в виде $(x - 4) (x - 4)$ .

$(x - 4) (x - 4) (4 x - 4)$

Этап 4.4

Развернем $(x - 4) (x - 4)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$(x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 4.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

Этап 4.4.3

Применим свойство дистрибутивности.

$(x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 4.5

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.5.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 4.5.1.2

Перенесем $- 4$ влево от $x$ .

$(x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

Этап 4.5.1.3

Умножим $- 4$ на $- 4$ .

$(x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

Этап 4.5.2

Вычтем $4 x$ из $- 4 x$ .

$(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

Этап 4.6

Развернем $(x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.1

Перенесем $x$ .

$4 (x \cdot x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$4 (x^{1} x^{2}) + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$4 x^{1 + 2} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$4 x^{3} + x^{2} \cdot - 4 - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.3

Перенесем $- 4$ влево от $x^{2}$ .

$4 x^{3} - 4 \cdot x^{2} - 8 x (4 x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x \cdot x - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.5

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.7.5.1

Перенесем $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 (x \cdot x) - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.5.2

Умножим $x$ на $x$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 8 \cdot 4 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.6

Умножим $- 8$ на $4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} - 8 x \cdot - 4 + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.7

Умножим $- 4$ на $- 8$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 16 (4 x) + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.8

Умножим $4$ на $16$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x + 16 \cdot - 4$

Этап 4.7.9

Умножим $16$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 4 x^{2} - 32 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Этап 4.8

Вычтем $32 x^{2}$ из $- 4 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 32 x + 64 x - 64$

Этап 4.9

Добавим $32 x$ и $64 x$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} + 96 x - 64$