Математический анализ Примеры

$f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $7 x - 2 x \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 1.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x \ln (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.3.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.3.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Сократим общий множитель.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.3.6.2

Перепишем это выражение.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 1.3.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Этап 1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Этап 1.4.2.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $5 - 2 \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Этап 2.1.2

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \ln (x))$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 \ln (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \ln (x)$

Этап 2.2.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{x}$

Этап 2.2.3

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{x}$

Этап 2.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{x}$

Этап 2.3

Вычтем $\frac{2}{x}$ из $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{x}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $7 x - 2 x \ln (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $7$ является константой относительно $x$ , производная $7 x$ по $x$ равна $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 4.1.2.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x \ln (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x \ln (x)$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 - 2 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Этап 4.1.3.2

$7 - 2 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 - 2 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 4.1.3.5

Объединим $x$ и $\frac{1}{x}$ .

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 4.1.3.6

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Сократим общий множитель.

$7 - 2 (\frac{x}{x} + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 4.1.3.6.2

Перепишем это выражение.

$7 - 2 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Этап 4.1.3.7

Умножим $\ln (x)$ на $1$ .

$7 - 2 (1 + \ln (x))$

Этап 4.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$7 - 2 \cdot 1 - 2 \ln (x)$

Этап 4.1.4.2

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.2.1

Умножим $- 2$ на $1$ .

$7 - 2 - 2 \ln (x)$

Этап 4.1.4.2.2

Вычтем $2$ из $7$ .

$f' (x) = 5 - 2 \ln (x)$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $5 - 2 \ln (x)$ .

$5 - 2 \ln (x)$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $5 - 2 \ln (x) = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$5 - 2 \ln (x) = 0$

Этап 5.2

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$- 2 \ln (x) = - 5$

Этап 5.3

Разделим каждый член $- 2 \ln (x) = - 5$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $- 2 \ln (x) = - 5$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \ln (x)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 5}{- 2}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (x) = \frac{5}{2}$

Этап 5.4

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{5}{2}}$

Этап 5.5

Перепишем $\ln (x) = \frac{5}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{5}{2}} = x$

Этап 5.6

Перепишем уравнение в виде $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 6.2

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = e^{\frac{5}{2}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = e^{\frac{5}{2}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{2}{e^{\frac{5}{2}}}$

Этап 9

$x = e^{\frac{5}{2}}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = e^{\frac{5}{2}}$ — локальный максимум

Этап 10

Найдем значение y, если $x = e^{\frac{5}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 (e^{\frac{5}{2}}) - 2 e^{\frac{5}{2}} \ln (e^{\frac{5}{2}})$

Этап 10.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{5}{2}$ из степени.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot \ln (e))$

Этап 10.2.1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} (\frac{5}{2} \cdot 1)$

Этап 10.2.1.3

Умножим $\frac{5}{2}$ на $1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 2 e^{\frac{5}{2}} \frac{5}{2}$

Этап 10.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1.4.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Этап 10.2.1.4.2

Сократим общий множитель.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} + 2 (- e^{\frac{5}{2}}) (\frac{5}{2})$

Этап 10.2.1.4.3

Перепишем это выражение.

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - e^{\frac{5}{2}} \cdot 5$

Этап 10.2.1.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 7 e^{\frac{5}{2}} - 5 e^{\frac{5}{2}}$

Этап 10.2.2

Вычтем $5 e^{\frac{5}{2}}$ из $7 e^{\frac{5}{2}}$ .

$f (e^{\frac{5}{2}}) = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Этап 10.2.3

Окончательный ответ: $2 e^{\frac{5}{2}}$ .

$y = 2 e^{\frac{5}{2}}$

Этап 11

Это локальные экстремумы $f (x) = 7 x - 2 x \ln (x)$ .

$(e^{\frac{5}{2}}, 2 e^{\frac{5}{2}})$ — локальный максимум

Этап 12