Математический анализ Примеры

$g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$ .

$- 24 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{2} + 16}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = x$ и $g (x) = x^{2} + 16$ .

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.3.2

Умножим $x^{2} + 16$ на $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} [x^{2} + 16]}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} [16])}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.3.5

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x^{1} x^{1})}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$- 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$- 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.9

Объединим $- 24$ и $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$\frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.11.2.1

Умножим $- 1$ на $24$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 1.11.2.2

Умножим $24$ на $16$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = - 1$ и $g (x) = \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$g'' (x) = - \frac{d}{d x} \cdot \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.2

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перемножим экспоненты в ${({(x^{2} + 16)}^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2 \cdot 2}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} \frac{d}{d x} (- 24 x^{2} + 384) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.2

По правилу суммы производная $- 24 x^{2} + 384$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 24 x^{2}] + \frac{d}{d x} [384]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (\frac{d}{d x} (- 24 x^{2}) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 24$ является константой относительно $x$ , производная $- 24 x^{2}$ по $x$ равна $- 24 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 24 (2 x) + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.5

Умножим $2$ на $- 24$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + \frac{d}{d x} (384)) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.6

Поскольку $384$ является константой относительно $x$ , производная $384$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x + 0) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.3.7

Добавим $- 48 x$ и $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) \frac{d}{d x} {(x^{2} + 16)}^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = x^{2} + 16$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (\frac{d}{d u} (u^{2}) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 u \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.4.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - (- 24 x^{2} + 384) (2 (x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x^{2} + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + \frac{d}{d x} (16)))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.4

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x + 0))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.5.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) (2 x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.5.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2} + 16$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 2 (- 24 x^{2} + 384) (2 \cdot ((x^{2} + 16) x))}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.5.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot \frac{d}{d x} (- 1)$

Этап 2.5.6

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} \cdot 0$

Этап 2.5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.7.1

Умножим $\frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ на $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}} + 0$

Этап 2.5.7.2

Добавим $- \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$ и $0$ .

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) - 4 (- 24 x^{2} + 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) ((x^{2} + 16) x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{{(x^{2} + 16)}^{2} (- 48 x) + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$g'' (x) = - \frac{- 48 {(x^{2} + 16)}^{2} x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.2

Перепишем ${(x^{2} + 16)}^{2}$ в виде $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 ((x^{2} + 16) (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3

Развернем $(x^{2} + 16) (x^{2} + 16)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} (x^{2} + 16) + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 (x^{2} + 16)) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.4.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{2 + 2} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.4.1.1.2

Добавим $2$ и $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + x^{2} \cdot 16 + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.4.1.2

Перенесем $16$ влево от $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 \cdot x^{2} + 16 x^{2} + 16 \cdot 16) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.4.1.3

Умножим $16$ на $16$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 16 x^{2} + 16 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.4.2

Добавим $16 x^{2}$ и $16 x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x^{4} + 32 x^{2} + 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 48 (32 x^{2}) - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.6.1

Умножим $32$ на $- 48$ .

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 48 \cdot 256) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.6.2

Умножим $- 48$ на $256$ .

$g'' (x) = - \frac{(- 48 x^{4} - 1536 x^{2} - 12288) x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.7

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{4} x - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.8.1

Умножим $x^{4}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.8.1.1

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.1.2

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.8.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 (x \cdot x^{4}) - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{1 + 4} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.1.3

Добавим $1$ и $4$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{2} x - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.2

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.8.2.1

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.2.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.8.2.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 (x \cdot x^{2}) - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.2.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{1 + 2} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.8.2.3

Добавим $1$ и $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (- 4 (- 24 x^{2}) - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.9.1

Умножим $- 24$ на $- 4$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 4 \cdot 384) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.9.2

Умножим $- 4$ на $384$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.10.1

Умножим $x^{2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.10.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2} x + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{2 + 1} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.10.2

Добавим $2$ и $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + (96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11

Развернем $(96 x^{2} - 1536) (x^{3} + 16 x)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} (x^{3} + 16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.2

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 (x^{3} + 16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.11.3

Применим свойство дистрибутивности.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{2} x^{3} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.12.1.1

Умножим $x^{2}$ на $x^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.12.1.1.1

Перенесем $x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 (x^{3} x^{2}) + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{3 + 2} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.1.3

Добавим $3$ и $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 x^{2} (16 x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{2} x) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.3

Умножим $x^{2}$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.12.1.3.1

Перенесем $x$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.3.2

Умножим $x$ на $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.3.1.12.1.3.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 (x \cdot x^{2})) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.3.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{1 + 2}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.3.3

Добавим $1$ и $2$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 96 \cdot (16 x^{3}) - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.4

Умножим $96$ на $16$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 1536 (16 x)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.1.5

Умножим $16$ на $- 1536$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 1536 x^{3} - 1536 x^{3} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.2

Вычтем $1536 x^{3}$ из $1536 x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} + 0 - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.1.12.3

Добавим $96 x^{5}$ и $0$ .

$g'' (x) = - \frac{- 48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x + 96 x^{5} - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.2

Добавим $- 48 x^{5}$ и $96 x^{5}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 12288 x - 24576 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.3.3

Вычтем $24576 x$ из $- 12288 x$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1

Вынесем множитель $48 x$ из $48 x^{5} - 1536 x^{3} - 36864 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.1.1

Вынесем множитель $48 x$ из $48 x^{5}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) - 1536 x^{3} - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.2

Вынесем множитель $48 x$ из $- 1536 x^{3}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) - 36864 x}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.3

Вынесем множитель $48 x$ из $- 36864 x$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.4

Вынесем множитель $48 x$ из $48 x (x^{4}) + 48 x (- 32 x^{2})$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.1.5

Вынесем множитель $48 x$ из $48 x (x^{4} - 32 x^{2}) + 48 x (- 768)$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{4} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.2

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x ({(x^{2})}^{2} - 32 x^{2} - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.3

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$g'' (x) = - \frac{48 x (u^{2} - 32 u - 768)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.4

Разложим $u^{2} - 32 u - 768$ на множители, используя метод группировки.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.4.4.1

Рассмотрим форму $x^{2} + b x + c$ . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно $c$ , а сумма — $b$ . В данном случае произведение чисел равно $- 768$ , а сумма — $- 32$ .

$- 48, 16$

Этап 2.6.4.4.2

Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.

$g'' (x) = - \frac{48 x ((u - 48) (u + 16))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.4.5

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.5

Сократим общий множитель $x^{2} + 16$ и ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.1

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из $48 x (x^{2} - 48) (x^{2} + 16)$ .

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{{(x^{2} + 16)}^{4}}$

Этап 2.6.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.5.2.1

Вынесем множитель $x^{2} + 16$ из ${(x^{2} + 16)}^{4}$ .

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 2.6.5.2.2

Сократим общий множитель.

$g'' (x) = - \frac{(x^{2} + 16) (48 x (x^{2} - 48))}{(x^{2} + 16) {(x^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 2.6.5.2.3

Перепишем это выражение.

$g'' (x) = - \frac{48 x (x^{2} - 48)}{{(x^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$f' (x) = - 24 \frac{d}{d x} \frac{x}{x^{2} + 16}$

Этап 4.1.2

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \frac{d}{d x} (x) - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{(x^{2} + 16) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.2

Умножим $x^{2} + 16$ на $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x \frac{d}{d x} (x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 16$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [16]$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + \frac{d}{d x} (16))}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.5

Поскольку $16$ является константой относительно $x$ , производная $16$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x + 0)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - x (2 x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.3.6.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x \cdot x}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.5

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 (x \cdot x)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.6

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{1 + 1}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.7

Добавим $1$ и $1$ .

$f' (x) = - 24 \frac{x^{2} + 16 - 2 x^{2}}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.8

Вычтем $2 x^{2}$ из $x^{2}$ .

$f' (x) = - 24 \frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.9

Объединим $- 24$ и $\frac{- x^{2} + 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$f' (x) = \frac{- 24 (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.10

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f' (x) = - \frac{(24) (- x^{2} + 16)}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f' (x) = - \frac{24 (- x^{2}) + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.11.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.11.2.1

Умножим $- 1$ на $24$ .

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 24 \cdot 16}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.1.11.2.2

Умножим $24$ на $16$ .

$f' (x) = - \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 4.2

Первая производная $g (x)$ по $x$ равна $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{- 24 x^{2} + 384}{{(x^{2} + 16)}^{2}} = 0$

Этап 5.2

Приравняем числитель к нулю.

$- 24 x^{2} + 384 = 0$

Этап 5.3

Решим уравнение относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Вычтем $384$ из обеих частей уравнения.

$- 24 x^{2} = - 384$

Этап 5.3.2

Разделим каждый член $- 24 x^{2} = - 384$ на $- 24$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Разделим каждый член $- 24 x^{2} = - 384$ на $- 24$ .

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

Этап 5.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1

Сократим общий множитель $- 24$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 24 x^{2}}{- 24} = \frac{- 384}{- 24}$

Этап 5.3.2.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 384}{- 24}$

Этап 5.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.3.1

Разделим $- 384$ на $- 24$ .

$x^{2} = 16$

Этап 5.3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{16}$

Этап 5.3.4

Упростим $\pm \sqrt{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.4.1

Перепишем $16$ в виде $4^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{4^{2}}$

Этап 5.3.4.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 4$

Этап 5.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 4$

Этап 5.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 4$

Этап 5.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 4, - 4$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 4, - 4$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{48 (4) ({(4)}^{2} - 48)}{{({(4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $48$ на $4$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(4^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 9.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

Этап 9.2.2

Добавим $16$ и $16$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32^{3}}$

Этап 9.2.3

Возведем $32$ в степень $3$ .

$- \frac{192 (4^{2} - 48)}{32768}$

Этап 9.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.3.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{192 (16 - 48)}{32768}$

Этап 9.3.2

Вычтем $48$ из $16$ .

$- \frac{192 \cdot - 32}{32768}$

Этап 9.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.1

Умножим $192$ на $- 32$ .

$- \frac{- 6144}{32768}$

Этап 9.4.2

Сократим общий множитель $- 6144$ и $32768$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.1

Вынесем множитель $2048$ из $- 6144$ .

$- \frac{2048 (- 3)}{32768}$

Этап 9.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.4.2.2.1

Вынесем множитель $2048$ из $32768$ .

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

Этап 9.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2048 \cdot - 3}{2048 \cdot 16}$

Этап 9.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{- 3}{16}$

Этап 9.4.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- - \frac{3}{16}$

Этап 9.5

Умножим $- - \frac{3}{16}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.5.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (\frac{3}{16})$

Этап 9.5.2

Умножим $\frac{3}{16}$ на $1$ .

$\frac{3}{16}$

Этап 10

$x = 4$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 4$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$g (4) = - \frac{24 (4)}{{(4)}^{2} + 16}$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Умножим $24$ на $4$ .

$g (4) = - \frac{96}{4^{2} + 16}$

Этап 11.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Возведем $4$ в степень $2$ .

$g (4) = - \frac{96}{16 + 16}$

Этап 11.2.2.2

Добавим $16$ и $16$ .

$g (4) = - \frac{96}{32}$

Этап 11.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.3.1

Разделим $96$ на $32$ .

$g (4) = - 1 \cdot 3$

Этап 11.2.3.2

Умножим $- 1$ на $3$ .

$g (4) = - 3$

Этап 11.2.4

Окончательный ответ: $- 3$ .

$y = - 3$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 4$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{48 (- 4) ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Умножим $48$ на $- 4$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{({(- 4)}^{2} + 16)}^{3}}$

Этап 13.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{{(16 + 16)}^{3}}$

Этап 13.2.2

Добавим $16$ и $16$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32^{3}}$

Этап 13.2.3

Возведем $32$ в степень $3$ .

$- \frac{- 192 ({(- 4)}^{2} - 48)}{32768}$

Этап 13.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.3.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$- \frac{- 192 (16 - 48)}{32768}$

Этап 13.3.2

Вычтем $48$ из $16$ .

$- \frac{- 192 \cdot - 32}{32768}$

Этап 13.4

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.1

Умножим $- 192$ на $- 32$ .

$- \frac{6144}{32768}$

Этап 13.4.2

Сократим общий множитель $6144$ и $32768$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.1

Вынесем множитель $2048$ из $6144$ .

$- \frac{2048 (3)}{32768}$

Этап 13.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.4.2.2.1

Вынесем множитель $2048$ из $32768$ .

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

Этап 13.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{2048 \cdot 3}{2048 \cdot 16}$

Этап 13.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{3}{16}$

Этап 14

$x = - 4$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 4$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$g (- 4) = - \frac{24 (- 4)}{{(- 4)}^{2} + 16}$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Умножим $24$ на $- 4$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{{(- 4)}^{2} + 16}$

Этап 15.2.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{16 + 16}$

Этап 15.2.2.2

Добавим $16$ и $16$ .

$g (- 4) = - \frac{- 96}{32}$

Этап 15.2.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.3.1

Разделим $- 96$ на $32$ .

$g (- 4) = 3$

Этап 15.2.3.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$g (- 4) = 3$

Этап 15.2.4

Окончательный ответ: $3$ .

$y = 3$

Этап 16

Это локальные экстремумы $g (x) = - \frac{24 x}{x^{2} + 16}$ .

$(4, - 3)$ — локальный минимум

$(- 4, 3)$ — локальный максимум

Этап 17