Математический анализ Примеры

Найти локальный максимум и минимум f(x)=x+sin(x)
Этап 1
Найдем первую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2
Производная по равна .
Этап 2
Найдем вторую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
Продифференцируем.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.2
Производная по равна .
Этап 2.3
Вычтем из .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5
Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь из косинуса.
Этап 6
Упростим правую часть.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Точное значение : .
Этап 7
Функция косинуса отрицательна во втором и третьем квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из и найдем решение в третьем квадранте.
Этап 8
Вычтем из .
Этап 9
Решение уравнения .
Этап 10
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 11
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте.
Этап 11.2
Точное значение : .
Этап 11.3
Умножим на .
Этап 12
Поскольку есть по крайней мере одна точка с или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.1
Разобьем на отдельные интервалы в окрестности значений , при которых первая производная равна или не определена.
Этап 12.2
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.2.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 12.2.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.2.2.1
Точное значение : .
Этап 12.2.2.2
Добавим и .
Этап 12.2.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 12.3
Подставим любое число такое, что , из интервала в первую производную , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.3.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 12.3.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 12.3.2.1
Найдем значение .
Этап 12.3.2.2
Добавим и .
Этап 12.3.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 12.4
Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.
Не локальный максимум или минимум
Этап 12.5
Локальный минимум или минимум для не найден.
Нет локального максимума или минимума
Нет локального максимума или минимума
Этап 13