Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Запишем в виде функции.
Этап 2
Этап 2.1
Продифференцируем.
Этап 2.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2
Найдем значение .
Этап 2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3
Умножим на .
Этап 3
Этап 3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.2
Найдем значение .
Этап 3.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.2.3
Умножим на .
Этап 3.3
Найдем значение .
Этап 3.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.3
Умножим на .
Этап 4
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 5
Этап 5.1
Найдем первую производную.
Этап 5.1.1
Продифференцируем.
Этап 5.1.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 5.1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.2
Найдем значение .
Этап 5.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 5.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 5.1.2.3
Умножим на .
Этап 5.2
Первая производная по равна .
Этап 6
Этап 6.1
Пусть первая производная равна .
Этап 6.2
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 6.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 6.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 6.4
Приравняем к .
Этап 6.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 6.5.1
Приравняем к .
Этап 6.5.2
Решим относительно .
Этап 6.5.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 6.5.2.2
Разделим каждый член на и упростим.
Этап 6.5.2.2.1
Разделим каждый член на .
Этап 6.5.2.2.2
Упростим левую часть.
Этап 6.5.2.2.2.1
Сократим общий множитель .
Этап 6.5.2.2.2.1.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.5.2.2.2.1.2
Разделим на .
Этап 6.5.2.3
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 6.5.2.4
Упростим .
Этап 6.5.2.4.1
Перепишем в виде .
Этап 6.5.2.4.2
Умножим на .
Этап 6.5.2.4.3
Объединим и упростим знаменатель.
Этап 6.5.2.4.3.1
Умножим на .
Этап 6.5.2.4.3.2
Возведем в степень .
Этап 6.5.2.4.3.3
Возведем в степень .
Этап 6.5.2.4.3.4
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 6.5.2.4.3.5
Добавим и .
Этап 6.5.2.4.3.6
Перепишем в виде .
Этап 6.5.2.4.3.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 6.5.2.4.3.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 6.5.2.4.3.6.3
Объединим и .
Этап 6.5.2.4.3.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 6.5.2.4.3.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.5.2.4.3.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.5.2.4.3.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 6.5.2.4.4
Упростим числитель.
Этап 6.5.2.4.4.1
Объединим, используя правило умножения для радикалов.
Этап 6.5.2.4.4.2
Умножим на .
Этап 6.5.2.5
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 6.5.2.5.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 6.5.2.5.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 6.5.2.5.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 6.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 7
Этап 7.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 8
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 9
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 10
Этап 10.1
Упростим каждый член.
Этап 10.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 10.1.2
Умножим на .
Этап 10.2
Вычтем из .
Этап 11
— локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
— локальный максимум
Этап 12
Этап 12.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 12.2
Упростим результат.
Этап 12.2.1
Упростим каждый член.
Этап 12.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 12.2.1.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 12.2.1.3
Умножим на .
Этап 12.2.2
Добавим и .
Этап 12.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 13
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 14
Этап 14.1
Упростим каждый член.
Этап 14.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 14.1.2
Перепишем в виде .
Этап 14.1.2.1
С помощью запишем в виде .
Этап 14.1.2.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 14.1.2.3
Объединим и .
Этап 14.1.2.4
Сократим общий множитель .
Этап 14.1.2.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 14.1.2.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 14.1.2.5
Найдем экспоненту.
Этап 14.1.3
Возведем в степень .
Этап 14.1.4
Сократим общий множитель .
Этап 14.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 14.1.4.2
Сократим общий множитель.
Этап 14.1.4.3
Перепишем это выражение.
Этап 14.1.5
Умножим на .
Этап 14.2
Вычтем из .
Этап 15
— локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
— локальный минимум
Этап 16
Этап 16.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 16.2
Упростим результат.
Этап 16.2.1
Упростим каждый член.
Этап 16.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 16.2.1.2
Упростим числитель.
Этап 16.2.1.2.1
Перепишем в виде .
Этап 16.2.1.2.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 16.2.1.2.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 16.2.1.2.1.3
Объединим и .
Этап 16.2.1.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 16.2.1.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.2.1.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 16.2.1.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.2.1.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 16.2.1.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 16.2.1.2.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 16.2.1.2.2
Возведем в степень .
Этап 16.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 16.2.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 16.2.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.2.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 16.2.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.2.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 16.2.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 16.2.1.5
Применим правило умножения к .
Этап 16.2.1.6
Перепишем в виде .
Этап 16.2.1.6.1
С помощью запишем в виде .
Этап 16.2.1.6.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 16.2.1.6.3
Объединим и .
Этап 16.2.1.6.4
Сократим общий множитель .
Этап 16.2.1.6.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 16.2.1.6.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 16.2.1.6.5
Найдем экспоненту.
Этап 16.2.1.7
Возведем в степень .
Этап 16.2.1.8
Сократим общий множитель и .
Этап 16.2.1.8.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.2.1.8.2
Сократим общие множители.
Этап 16.2.1.8.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 16.2.1.8.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 16.2.1.8.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 16.2.1.9
Умножим .
Этап 16.2.1.9.1
Объединим и .
Этап 16.2.1.9.2
Умножим на .
Этап 16.2.1.10
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 16.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 16.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 16.2.3.1
Умножим на .
Этап 16.2.3.2
Умножим на .
Этап 16.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 16.2.5
Упростим числитель.
Этап 16.2.5.1
Умножим на .
Этап 16.2.5.2
Вычтем из .
Этап 16.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 16.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 17
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 18
Этап 18.1
Упростим каждый член.
Этап 18.1.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 18.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 18.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 18.1.2
Возведем в степень .
Этап 18.1.3
Умножим на .
Этап 18.1.4
Перепишем в виде .
Этап 18.1.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 18.1.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 18.1.4.3
Объединим и .
Этап 18.1.4.4
Сократим общий множитель .
Этап 18.1.4.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 18.1.4.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 18.1.4.5
Найдем экспоненту.
Этап 18.1.5
Возведем в степень .
Этап 18.1.6
Сократим общий множитель .
Этап 18.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 18.1.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 18.1.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 18.1.7
Умножим на .
Этап 18.2
Вычтем из .
Этап 19
— локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
— локальный минимум
Этап 20
Этап 20.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 20.2
Упростим результат.
Этап 20.2.1
Упростим каждый член.
Этап 20.2.1.1
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 20.2.1.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 20.2.1.1.2
Применим правило умножения к .
Этап 20.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 20.2.1.3
Умножим на .
Этап 20.2.1.4
Упростим числитель.
Этап 20.2.1.4.1
Перепишем в виде .
Этап 20.2.1.4.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 20.2.1.4.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 20.2.1.4.1.3
Объединим и .
Этап 20.2.1.4.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 20.2.1.4.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.1.4.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 20.2.1.4.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.1.4.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 20.2.1.4.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 20.2.1.4.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 20.2.1.4.2
Возведем в степень .
Этап 20.2.1.5
Возведем в степень .
Этап 20.2.1.6
Сократим общий множитель и .
Этап 20.2.1.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.1.6.2
Сократим общие множители.
Этап 20.2.1.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.1.6.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 20.2.1.6.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 20.2.1.7
Применим правило степени для распределения показателей.
Этап 20.2.1.7.1
Применим правило умножения к .
Этап 20.2.1.7.2
Применим правило умножения к .
Этап 20.2.1.8
Возведем в степень .
Этап 20.2.1.9
Умножим на .
Этап 20.2.1.10
Перепишем в виде .
Этап 20.2.1.10.1
С помощью запишем в виде .
Этап 20.2.1.10.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 20.2.1.10.3
Объединим и .
Этап 20.2.1.10.4
Сократим общий множитель .
Этап 20.2.1.10.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 20.2.1.10.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 20.2.1.10.5
Найдем экспоненту.
Этап 20.2.1.11
Возведем в степень .
Этап 20.2.1.12
Сократим общий множитель и .
Этап 20.2.1.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.1.12.2
Сократим общие множители.
Этап 20.2.1.12.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 20.2.1.12.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 20.2.1.12.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 20.2.1.13
Умножим .
Этап 20.2.1.13.1
Объединим и .
Этап 20.2.1.13.2
Умножим на .
Этап 20.2.1.14
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 20.2.2
Чтобы записать в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на .
Этап 20.2.3
Запишем каждое выражение с общим знаменателем , умножив на подходящий множитель .
Этап 20.2.3.1
Умножим на .
Этап 20.2.3.2
Умножим на .
Этап 20.2.4
Объединим числители над общим знаменателем.
Этап 20.2.5
Упростим числитель.
Этап 20.2.5.1
Умножим на .
Этап 20.2.5.2
Вычтем из .
Этап 20.2.6
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 20.2.7
Окончательный ответ: .
Этап 21
Это локальные экстремумы .
— локальный максимум
— локальный минимум
— локальный минимум
Этап 22