Математический анализ Примеры

$y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 1

Запишем $y = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ в виде функции.

$f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$

Этап 2

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \sin (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \sin (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.2.2

Производная $\sin (x)$ по $x$ равна $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \cos^{2} (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- \cos^{2} (x)$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$2 \cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 \cos (x) - (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Этап 2.3.3

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$2 \cos (x) - (2 \cos (x) (- \sin (x)))$

Этап 2.3.4

Умножим $- 1$ на $2$ .

$2 \cos (x) - (- 2 \cos (x) \sin (x))$

Этап 2.3.5

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$2 \cos (x) + 2 \cos (x) \sin (x)$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Изменим порядок членов.

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x)$

Этап 2.4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Изменим порядок $2 \cos (x)$ и $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \cos (x)) + 2 \cos (x)$

Этап 2.4.2.2

Изменим порядок $\sin (x)$ и $2$ .

$2 \cdot \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$

Этап 2.4.2.3

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x)$

Этап 3

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

По правилу суммы производная $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $2 x$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.1.2

Производная $\sin (u)$ по $u$ равна $\cos (u)$ .

$f'' (x) = \cos (u) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.1.3

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f'' (x) = \cos (2 x) \cdot 2 + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.2.5

Перенесем $2$ влево от $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Этап 3.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 \cos (x)$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Этап 3.3.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) + 2 (- \sin (x))$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $2$ .

$f'' (x) = 2 \cos (2 x) - 2 \sin (x)$

Этап 4

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$\sin (2 x) + 2 \cos (x) = 0$

Этап 5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x) = 0$

Этап 6

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x) + 2 \cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) = 0$

Этап 6.2

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x)$ .

$2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1 = 0$

Этап 6.3

Вынесем множитель $2 \cos (x)$ из $2 \cos (x) \sin (x) + 2 \cos (x) \cdot 1$ .

$2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$

Этап 7

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 8

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Приравняем $\cos (x)$ к $0$ .

$\cos (x) = 0$

Этап 8.2

Решим $\cos (x) = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Возьмем обратный косинус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из косинуса.

$x = \arccos (0)$

Этап 8.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.2.1

Точное значение $\arccos (0)$ : $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Этап 8.2.3

Функция косинуса положительна в первом и четвертом квадрантах. Чтобы найти второе решение, вычтем угол приведения из $2 π$ и найдем решение в четвертом квадранте.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.4

Упростим $2 π - \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.1

Чтобы записать $2 π$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.4.2

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.2.1

Объединим $2 π$ и $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Этап 8.2.4.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Этап 8.2.4.3

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.4.3.1

Умножим $2$ на $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Этап 8.2.4.3.2

Вычтем $π$ из $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 8.2.5

Решение уравнения $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 9

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Приравняем $\sin (x) + 1$ к $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Этап 9.2

Решим $\sin (x) + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$\sin (x) = - 1$

Этап 9.2.2

Возьмем обратный синус обеих частей уравнения, чтобы извлечь $x$ из синуса.

$x = \arcsin (- 1)$

Этап 9.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.3.1

Точное значение $\arcsin (- 1)$ : $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Этап 9.2.4

Функция синуса отрицательна в третьем и четвертом квадрантах. Для нахождения второго решения вычтем решение из $2 π$ , чтобы найти угол приведения. Затем добавим этот угол приведения к $π$ и найдем решение в третьем квадранте.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Этап 9.2.5

Упростим выражение, чтобы найти второе решение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.5.1

Вычтем $2 π$ из $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Этап 9.2.5.2

Результирующий угол $\frac{3 π}{2}$ является положительным, меньшим $2 π$ и отличается от $2 π + \frac{π}{2} + π$ на полный оборот.

$x = \frac{3 π}{2}$

Этап 9.2.6

Решение уравнения $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Этап 10

Окончательным решением являются все значения, при которых $2 \cos (x) (\sin (x) + 1) = 0$ верно.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Этап 11

Найдем вторую производную в $x = \frac{π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (\frac{π}{2})) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \cos (2 \frac{π}{2}) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.1.2

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как косинус отрицательный во втором квадранте.

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.1.4

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.1.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{π}{2})$

Этап 12.1.5

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 - 2 \cdot 1$

Этап 12.1.6

Умножим $- 2$ на $1$ .

$- 2 - 2$

Этап 12.2

Вычтем $2$ из $- 2$ .

$- 4$

Этап 13

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 14

Найдем значение y, если $x = \frac{π}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\frac{π}{2}$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \sin (\frac{π}{2}) - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 14.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.2.1.1

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 \cdot 1 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 14.2.1.2

Умножим $2$ на $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Этап 14.2.1.3

Точное значение $\cos (\frac{π}{2})$ : $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0^{2}$

Этап 14.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 - 0$

Этап 14.2.1.5

Умножим $- 1$ на $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2 + 0$

Этап 14.2.2

Добавим $2$ и $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 2$

Этап 14.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$y = 2$

Этап 15

Найдем вторую производную в $x = \frac{3 π}{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$2 \cos (2 (\frac{3 π}{2})) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.1.1

Сократим общий множитель.

$2 \cos (2 \frac{3 π}{2}) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.1.1.2

Перепишем это выражение.

$2 \cos (3 π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.1.2

Удалим число полных оборотов $2 π$ , чтобы угол оказался больше или равен $0$ и меньше $2 π$ .

$2 \cos (π) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.1.3

$2 (- \cos (0)) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.1.4

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$2 (- 1 \cdot 1) - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.1.5

Умножим $2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.5.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$2 \cdot - 1 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.1.5.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 - 2 \sin (\frac{3 π}{2})$

Этап 16.1.6

Применим угол приведения, найдя угол с эквивалентными тригонометрическими значениями в первом квадранте. Добавим минус к выражению, так как синус отрицательный в четвертом квадранте.

$- 2 - 2 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Этап 16.1.7

Точное значение $\sin (\frac{π}{2})$ : $1$ .

$- 2 - 2 (- 1 \cdot 1)$

Этап 16.1.8

Умножим $- 2 (- 1 \cdot 1)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 16.1.8.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 2 - 2 \cdot - 1$

Этап 16.1.8.2

Умножим $- 2$ на $- 1$ .

$- 2 + 2$

Этап 16.2

Добавим $- 2$ и $2$ .

$0$

Этап 17

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Этап 17.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - \frac{π}{2})$ в первую производную $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (2 (- 4)) + 2 \cos (- 4)$

Этап 17.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.2.2.1.1

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = \sin (- 8) + 2 \cos (- 4)$

Этап 17.2.2.1.2

Найдем значение $\sin (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cos (- 4)$

Этап 17.2.2.1.3

Найдем значение $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 + 2 \cdot - 0.65364362$

Этап 17.2.2.1.4

Умножим $2$ на $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = - 0.98935824 - 1.30728724$

Этап 17.2.2.2

Вычтем $1.30728724$ из $- 0.98935824$ .

$f' (- 4) = - 2.29664548$

Этап 17.2.2.3

Окончательный ответ: $- 2.29664548$ .

$- 2.29664548$

Этап 17.3

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ в первую производную $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = \sin (2 (0)) + 2 \cos (0)$

Этап 17.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.3.2.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$f' (0) = \sin (0) + 2 \cos (0)$

Этап 17.3.2.1.2

Точное значение $\sin (0)$ : $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Этап 17.3.2.1.3

Точное значение $\cos (0)$ : $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Этап 17.3.2.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Этап 17.3.2.2

Добавим $0$ и $2$ .

$f' (0) = 2$

Этап 17.3.2.3

Окончательный ответ: $2$ .

$2$

Этап 17.4

Подставим любое число такое, что $3$ , из интервала $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ в первую производную $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $3$ .

$f' (3) = \sin (2 (3)) + 2 \cos (3)$

Этап 17.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.4.2.1.1

Умножим $2$ на $3$ .

$f' (3) = \sin (6) + 2 \cos (3)$

Этап 17.4.2.1.2

Найдем значение $\sin (6)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cos (3)$

Этап 17.4.2.1.3

Найдем значение $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 0.27941549 + 2 \cdot - 0.98999249$

Этап 17.4.2.1.4

Умножим $2$ на $- 0.98999249$ .

$f' (3) = - 0.27941549 - 1.97998499$

Этап 17.4.2.2

Вычтем $1.97998499$ из $- 0.27941549$ .

$f' (3) = - 2.25940049$

Этап 17.4.2.3

Окончательный ответ: $- 2.25940049$ .

$- 2.25940049$

Этап 17.5

Подставим любое число такое, что $7$ , из интервала $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ в первую производную $\sin (2 x) + 2 \cos (x)$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $7$ .

$f' (7) = \sin (2 (7)) + 2 \cos (7)$

Этап 17.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.5.2.1.1

Умножим $2$ на $7$ .

$f' (7) = \sin (14) + 2 \cos (7)$

Этап 17.5.2.1.2

Найдем значение $\sin (14)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cos (7)$

Этап 17.5.2.1.3

Найдем значение $\cos (7)$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 2 \cdot 0.75390225$

Этап 17.5.2.1.4

Умножим $2$ на $0.75390225$ .

$f' (7) = 0.99060735 + 1.5078045$

Этап 17.5.2.2

Добавим $0.99060735$ и $1.5078045$ .

$f' (7) = 2.49841186$

Этап 17.5.2.3

Окончательный ответ: $2.49841186$ .

$2.49841186$

Этап 17.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - \frac{π}{2}$ , $x = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум.

$x = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум

Этап 17.7

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = \frac{π}{2}$ , $x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум.

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

Этап 17.8

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{3 π}{2}$ , $x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум.

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 17.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 2 \sin (x) - \cos^{2} (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

$x = - \frac{π}{2}$ — локальный минимум

$x = \frac{π}{2}$ — локальный максимум

$x = \frac{3 π}{2}$ — локальный минимум

Этап 18