Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} [27 x]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} [27 x]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27 x$ по $x$ равна $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Этап 1.3.3

Умножим $27$ на $1$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} - 18 x + 27$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 18 x) + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 18$ является константой относительно $x$ , производная $- 18 x$ по $x$ равна $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.3.3

Умножим $- 18$ на $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + \frac{d}{d x} (27)$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18 + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $6 x - 18$ и $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 18$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}] + \frac{d}{d x} [27 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 9 x^{2}) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 9$ является константой относительно $x$ , производная $- 9 x^{2}$ по $x$ равна $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (27 x)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 9 (2 x) + \frac{d}{d x} (27 x)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 9$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + \frac{d}{d x} (27 x)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [27 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $27$ является константой относительно $x$ , производная $27 x$ по $x$ равна $27 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \frac{d}{d x} (x)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27 \cdot 1$

Этап 4.1.3.3

Умножим $27$ на $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 18 x + 27$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$3 x^{2} - 18 x + 27 = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} - 18 x + 27$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 18 x + 27 = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $3$ из $- 18 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- 6 x) + 27 = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $3$ из $27$ .

$3 x^{2} + 3 (- 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Этап 5.2.1.4

Вынесем множитель $3$ из $3 x^{2} + 3 (- 6 x)$ .

$3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9 = 0$

Этап 5.2.1.5

Вынесем множитель $3$ из $3 (x^{2} - 6 x) + 3 \cdot 9$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Этап 5.2.2

Разложим на множители, используя правило полных квадратов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Перепишем $9$ в виде $3^{2}$ .

$3 (x^{2} - 6 x + 3^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.2

Проверим, чтобы средний член был равен удвоенному произведению корней из первого и третьего членов.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Этап 5.2.2.3

Перепишем многочлен.

$3 (x^{2} - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Этап 5.2.2.4

Разложим на множители, используя правило выделения полного квадрата из квадратного трехчлена $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , где $a = x$ и $b = 3$ .

$3 {(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.3

Разделим каждый член $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $3 {(x - 3)}^{2} = 0$ на $3$ .

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 {(x - 3)}^{2}}{3} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим ${(x - 3)}^{2}$ на $1$ .

${(x - 3)}^{2} = \frac{0}{3}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $0$ на $3$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x - 3$ к $0$ .

$x - 3 = 0$

Этап 5.5

Добавим $3$ к обеим частям уравнения.

$x = 3$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 3$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 3$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$6 (3) - 18$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Умножим $6$ на $3$ .

$18 - 18$

Этап 9.2

Вычтем $18$ из $18$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 3) \cup (3, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $0$ , из интервала $(- \infty, 3)$ в первую производную $3 x^{2} - 18 x + 27$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f' (0) = 3 {(0)}^{2} - 18 \cdot 0 + 27$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f' (0) = 3 \cdot 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $3$ на $0$ .

$f' (0) = 0 - 18 \cdot 0 + 27$

Этап 10.2.2.1.3

Умножим $- 18$ на $0$ .

$f' (0) = 0 + 0 + 27$

Этап 10.2.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f' (0) = 0 + 27$

Этап 10.2.2.2.2

Добавим $0$ и $27$ .

$f' (0) = 27$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$27$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $6$ , из интервала $(3, \infty)$ в первую производную $3 x^{2} - 18 x + 27$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $6$ .

$f' (6) = 3 {(6)}^{2} - 18 \cdot 6 + 27$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $6$ в степень $2$ .

$f' (6) = 3 \cdot 36 - 18 \cdot 6 + 27$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $3$ на $36$ .

$f' (6) = 108 - 18 \cdot 6 + 27$

Этап 10.3.2.1.3

Умножим $- 18$ на $6$ .

$f' (6) = 108 - 108 + 27$

Этап 10.3.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.2.1

Вычтем $108$ из $108$ .

$f' (6) = 0 + 27$

Этап 10.3.2.2.2

Добавим $0$ и $27$ .

$f' (6) = 27$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $27$ .

$27$

Этап 10.4

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 3$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.5

Локальный минимум или минимум для $f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 27 x$ не найден.

Нет локального максимума или минимума

Этап 11