Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{- 4} \ln (x)$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{- 4}$ и $g (x) = \ln (x)$ .

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.3.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.4.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Этап 1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1.6.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1.6.2.4

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 1.6.2.5

Перенесем $4$ влево от $\ln (x)$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}] + \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}) + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [\frac{\ln (x)}{x^{5}}]$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{d}{d x} \frac{\ln (x)}{x^{5}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ имеет вид $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , где $f (x) = \ln (x)$ и $g (x) = x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} \frac{d}{d x} (\ln (x)) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.3

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) \frac{d}{d x} x^{5}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{5} (\frac{1}{x}) - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.5

Объединим $x^{5}$ и $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{5}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.6

Сократим общий множитель $x^{5}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{5}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.6.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.6.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.6.2.3

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.6.2.4

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 4 \frac{\frac{x^{4}}{1} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.6.2.5

Разделим $x^{4}$ на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - \ln (x) (5 x^{4})}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.7

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{{(x^{5})}^{2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.8

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.8.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{5 \cdot 2}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.8.2

Умножим $5$ на $2$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.9

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} - 5 \ln (x) x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.9.1

Умножим на $1$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (x) x^{4}}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.9.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $- 5 \ln (x) x^{4}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.9.3

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (x))$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{10}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.10

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.10.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{10}$ .

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.10.2

Сократим общий множитель.

$f'' (x) = - 4 \frac{x^{4} (1 - 5 \ln (x))}{x^{4} x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.10.3

Перепишем это выражение.

$f'' (x) = - 4 \frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.11

Объединим $- 4$ и $\frac{1 - 5 \ln (x)}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{5}})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем $\frac{1}{x^{5}}$ в виде ${(x^{5})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d x} ({(x^{5})}^{- 1})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{- 1}$ и $g (x) = x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u$ как $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} + \frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{5})$

Этап 2.3.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ имеет вид $n u^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Этап 2.3.2.3

Заменим все вхождения $u$ на $x^{5}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{5}$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - {(x^{5})}^{- 2} (5 x^{4})$

Этап 2.3.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{5 \cdot - 2} (5 x^{4})$

Этап 2.3.4.2

Умножим $5$ на $- 2$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - x^{- 10} (5 x^{4})$

Этап 2.3.5

Умножим $5$ на $- 1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 10} x^{4}$

Этап 2.3.6

Умножим $x^{- 10}$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Перенесем $x^{4}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 (x^{4} x^{- 10})$

Этап 2.3.6.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{4 - 10}$

Этап 2.3.6.3

Вычтем $10$ из $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 x^{- 6}$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 (1 - 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 2.4.2

Применим свойство дистрибутивности.

$f'' (x) = - \frac{4 \cdot 1 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 2.4.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.3.1

Умножим $4$ на $1$ .

$f'' (x) = - \frac{4 + 4 (- 5 \ln (x))}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 2.4.3.2

Умножим $- 5$ на $4$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - 5 \frac{1}{x^{6}}$

Этап 2.4.3.3

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{x^{6}}$ .

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} + \frac{- 5}{x^{6}}$

Этап 2.4.3.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{4 - 20 \ln (x)}{x^{6}} - \frac{5}{x^{6}}$

Этап 2.4.3.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$f'' (x) = \frac{- (4 - 20 \ln (x)) - 5}{x^{6}}$

Этап 2.4.4

Изменим порядок членов.

$f'' (x) = \frac{- 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Этап 2.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 5 - (4 - 20 \ln (x))$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.5.1.1

Перепишем $- 5$ в виде $- 1 (5)$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 \cdot 5 - (4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Этап 2.4.5.1.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (5) - (4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Этап 2.4.5.1.3

Перепишем $- 1 (5 + 4 - 20 \ln (x))$ в виде $- (5 + 4 - 20 \ln (x))$ .

$f'' (x) = \frac{- (5 + 4 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Этап 2.4.5.2

Добавим $5$ и $4$ .

$f'' (x) = \frac{- (9 - 20 \ln (x))}{x^{6}}$

Этап 2.4.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$f'' (x) = - \frac{9 - 20 \ln (x)}{x^{6}}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

$x^{- 4} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.1.2

Производная $\ln (x)$ по $x$ равна $\frac{1}{x}$ .

$x^{- 4} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.1.3

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{x^{- 4}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.1.3.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x \cdot x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.1.4

Умножим $x$ на $x^{4}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Умножим $x$ на $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{1}{x^{1} x^{4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.1.4.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{x^{1 + 4}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.1.4.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{- 4}]$

Этап 4.1.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = - 4$ .

$\frac{1}{x^{5}} + \ln (x) (- 4 x^{- 5})$

Этап 4.1.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.1

Изменим порядок членов.

$- 4 x^{- 5} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.1.6.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.6.2.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 4 \frac{1}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.1.6.2.2

Объединим $- 4$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{- 4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.1.6.2.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{4}{x^{5}} \ln (x) + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.1.6.2.4

Объединим $\ln (x)$ и $\frac{4}{x^{5}}$ .

$- \frac{\ln (x) \cdot 4}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.1.6.2.5

Перенесем $4$ влево от $\ln (x)$ .

$f' (x) = - \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} = 0$

Этап 5.2

Вычтем $\frac{1}{x^{5}}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{4 \ln (x)}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{5}}$

Этап 5.3

Поскольку выражения в каждой части уравнения имеют одинаковые знаменатели, числители должны быть равны.

$- 4 \ln (x) = - 1$

Этап 5.4

Разделим каждый член $- 4 \ln (x) = - 1$ на $- 4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Разделим каждый член $- 4 \ln (x) = - 1$ на $- 4$ .

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Сократим общий множитель $- 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 4 \ln (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.4.2.1.2

Разделим $\ln (x)$ на $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Этап 5.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (x) = \frac{1}{4}$

Этап 5.5

Чтобы решить относительно $x$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (x)} = e^{\frac{1}{4}}$

Этап 5.6

Перепишем $\ln (x) = \frac{1}{4}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{1}{4}} = x$

Этап 5.7

Перепишем уравнение в виде $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Зададим знаменатель в $\frac{4 \ln (x)}{x^{5}}$ равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x^{5} = 0$

Этап 6.2

Решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \sqrt[5]{0}$

Этап 6.2.2

Упростим $\sqrt[5]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{5}$ .

$x = \sqrt[5]{0^{5}}$

Этап 6.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 6.3

Зададим аргумент в $\ln (x)$ меньшим или равным $0$ , чтобы узнать, где данное выражение не определено.

$x \leq 0$

Этап 6.4

Уравнение не определено, если знаменатель равен $0$ , аргумент под знаком квадратного корня меньше $0$ или аргумент под знаком логарифма меньше или равен $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = e^{\frac{1}{4}}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = e^{\frac{1}{4}}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- \frac{9 - 20 \ln (e^{\frac{1}{4}})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{1}{4}$ из степени.

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \ln (e))}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9.1.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4} \cdot 1)}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9.1.3

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$- \frac{9 - 20 (\frac{1}{4})}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.4.1

Вынесем множитель $4$ из $- 20$ .

$- \frac{9 + 4 (- 5) \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9.1.4.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{9 + 4 \cdot - 5 \frac{1}{4}}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9.1.4.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{9 - 5}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9.1.5

Вычтем $5$ из $9$ .

$- \frac{4}{{(e^{\frac{1}{4}})}^{6}}$

Этап 9.2

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{4}})}^{6}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{4} \cdot 6}}$

Этап 9.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 (2)} \cdot 6}}$

Этап 9.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $6$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Этап 9.2.2.3

Сократим общий множитель.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2 \cdot 2} \cdot (2 \cdot 3)}}$

Этап 9.2.2.4

Перепишем это выражение.

$- \frac{4}{e^{\frac{1}{2} \cdot 3}}$

Этап 9.2.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $3$ .

$- \frac{4}{e^{\frac{3}{2}}}$

Этап 10

$x = e^{\frac{1}{4}}$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = e^{\frac{1}{4}}$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = e^{\frac{1}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $e^{\frac{1}{4}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = {(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{\frac{1}{4}})}^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot - 4} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Этап 11.2.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.2.1

Вынесем множитель $4$ из $- 4$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 (- 1))} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Этап 11.2.1.2.2

Сократим общий множитель.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{\frac{1}{4} \cdot (4 \cdot - 1)} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Этап 11.2.1.2.3

Перепишем это выражение.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = e^{- 1} \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Этап 11.2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \ln (e^{\frac{1}{4}})$

Этап 11.2.3

Используем основные свойства логарифмов, чтобы вынести $\frac{1}{4}$ из степени.

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot \ln (e))$

Этап 11.2.4

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot (\frac{1}{4} \cdot 1)$

Этап 11.2.5

Умножим $\frac{1}{4}$ на $1$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e} \cdot \frac{1}{4}$

Этап 11.2.6

Умножим $\frac{1}{e}$ на $\frac{1}{4}$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{e \cdot 4}$

Этап 11.2.7

Перенесем $4$ влево от $e$ .

$f (e^{\frac{1}{4}}) = \frac{1}{4 e}$

Этап 11.2.8

Окончательный ответ: $\frac{1}{4 e}$ .

$y = \frac{1}{4 e}$

Этап 12

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{- 4} \ln (x)$ .

$(e^{\frac{1}{4}}, \frac{1}{4 e})$ — локальный максимум

Этап 13