Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Step 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 4 (2 x)$

Умножим $2$ на $- 4$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 8 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 8$ является константой относительно $x$ , производная $- 8 x$ по $x$ равна $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} x$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8 \cdot 1$

Умножим $- 8$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 8$

Step 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Step 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

По правилу суммы производная $x^{4} - 4 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2})$

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x^{2}$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 \frac{d}{d x} x^{2}$

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 (2 x)$

Умножим $2$ на $- 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 8 x$

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 8 x$ .

$4 x^{3} - 8 x$

Step 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 8 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 8 x = 0$

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 8 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 8 x = 0$

Вынесем множитель $4 x$ из $- 8 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 2) = 0$

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 2)$ .

$4 x (x^{2} - 2) = 0$

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Приравняем $x^{2} - 2$ к $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Решим $x^{2} - 2 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Добавим $2$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} = 2$

Возьмем квадратный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$x = \pm \sqrt{2}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = \sqrt{2}$

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - \sqrt{2}$

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x^{2} - 2) = 0$ верно.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Step 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Step 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0)}^{2} - 8$

Step 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 - 8$

Умножим $12$ на $0$ .

$0 - 8$

Вычтем $8$ из $0$ .

$- 8$

Step 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Step 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 4 {(0)}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2}$

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0$

Умножим $- 4$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0$

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Step 12

Найдем вторую производную в $x = \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(\sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Перепишем это выражение.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Найдем экспоненту.

$12 \cdot 2 - 8$

Умножим $12$ на $2$ .

$24 - 8$

Вычтем $8$ из $24$ .

$16$

Step 14

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = \sqrt{2}$ — локальный минимум

Step 15

Найдем значение y, если $x = \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $\sqrt{2}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(\sqrt{2})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Разделим $2$ на $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(\sqrt{2})}^{2}$

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Перепишем это выражение.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Найдем экспоненту.

$f (\sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 4 - 8$

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (\sqrt{2}) = - 4$

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Step 16

Найдем вторую производную в $x = - \sqrt{2}$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- \sqrt{2})}^{2} - 8$

Step 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$12 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 8$

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$12 {\sqrt{2}}^{2} - 8$

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$12 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$12 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$12 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 8$

Перепишем это выражение.

$12 \cdot 2^{1} - 8$

Найдем экспоненту.

$12 \cdot 2 - 8$

Умножим $12$ на $2$ .

$24 - 8$

Вычтем $8$ из $24$ .

$16$

Step 18

$x = - \sqrt{2}$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - \sqrt{2}$ — локальный минимум

Step 19

Найдем значение y, если $x = - \sqrt{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- \sqrt{2})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 1 {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Умножим ${\sqrt{2}}^{4}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = {\sqrt{2}}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Перепишем ${\sqrt{2}}^{4}$ в виде $2^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{4}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{\frac{2}{1}} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Разделим $2$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{2} - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Возведем $2$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Применим правило умножения к $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Умножим ${\sqrt{2}}^{2}$ на $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {\sqrt{2}}^{2}$

Перепишем ${\sqrt{2}}^{2}$ в виде $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2}$ в виде $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Сократим общий множитель.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Перепишем это выражение.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Найдем экспоненту.

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 4 \cdot 2$

Умножим $- 4$ на $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 4 - 8$

Вычтем $8$ из $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 4$

Окончательный ответ: $- 4$ .

$y = - 4$

Step 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ .

$(0, 0)$ — локальный максимум

$(\sqrt{2}, - 4)$ — локальный минимум

$(- \sqrt{2}, - 4)$ — локальный минимум

Step 21