Математический анализ Примеры

$f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$4 x^{3} - 4 x + 0$

Этап 1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 4 x$ и $0$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $4 x^{3} - 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x^{3}$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.2.3

Умножим $3$ на $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x)$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 4$ является константой относительно $x$ , производная $- 4 x$ по $x$ равна $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4 \cdot 1$

Этап 2.3.3

Умножим $- 4$ на $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 4$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1.1

По правилу суммы производная $x^{4} - 2 x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 2 x^{2}) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $- 2$ является константой относительно $x$ , производная $- 2 x^{2}$ по $x$ равна $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 2 (2 x) + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $2$ на $- 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + \frac{d}{d x} (1)$

Этап 4.1.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x + 0$

Этап 4.1.3.2

Добавим $4 x^{3} - 4 x$ и $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 4 x$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $4 x^{3} - 4 x$ .

$4 x^{3} - 4 x$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $4 x^{3} - 4 x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$4 x^{3} - 4 x = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3} - 4 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 4 x = 0$

Этап 5.2.1.2

Вынесем множитель $4 x$ из $- 4 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 1) = 0$

Этап 5.2.1.3

Вынесем множитель $4 x$ из $4 x (x^{2}) + 4 x (- 1)$ .

$4 x (x^{2} - 1) = 0$

Этап 5.2.2

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 1^{2}) = 0$

Этап 5.2.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 1$ .

$4 x ((x + 1) (x - 1)) = 0$

Этап 5.2.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$4 x (x + 1) (x - 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x = 0$

$x + 1 = 0$

$x - 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x$ к $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $x + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $x + 1$ к $0$ .

$x + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$x = - 1$

Этап 5.6

Приравняем $x - 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Приравняем $x - 1$ к $0$ .

$x - 1 = 0$

Этап 5.6.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$x = 1$

Этап 5.7

Окончательным решением являются все значения, при которых $4 x (x + 1) (x - 1) = 0$ верно.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, - 1, 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(0)}^{2} - 4$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$12 \cdot 0 - 4$

Этап 9.1.2

Умножим $12$ на $0$ .

$0 - 4$

Этап 9.2

Вычтем $4$ из $0$ .

$- 4$

Этап 10

$x = 0$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0$ .

$f (0) = {(0)}^{4} - 2 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{2} + 1$

Этап 11.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 + 1$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 2$ на $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 1$

Этап 11.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$f (0) = 0 + 1$

Этап 11.2.2.2

Добавим $0$ и $1$ .

$f (0) = 1$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $1$ .

$y = 1$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(- 1)}^{2} - 4$

Этап 13

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1.1

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$12 \cdot 1 - 4$

Этап 13.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 4$

Этап 13.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$8$

Этап 14

$x = - 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} - 2 {(- 1)}^{2} + 1$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$f (- 1) = 1 - 2 {(- 1)}^{2} + 1$

Этап 15.2.1.2

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$f (- 1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (- 1) = 1 - 2 + 1$

Этап 15.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (- 1) = - 1 + 1$

Этап 15.2.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (- 1) = 0$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 16

Найдем вторую производную в $x = 1$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$12 {(1)}^{2} - 4$

Этап 17

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 17.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$12 \cdot 1 - 4$

Этап 17.1.2

Умножим $12$ на $1$ .

$12 - 4$

Этап 17.2

Вычтем $4$ из $12$ .

$8$

Этап 18

$x = 1$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 1$ — локальный минимум

Этап 19

Найдем значение y, если $x = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f (1) = {(1)}^{4} - 2 {(1)}^{2} + 1$

Этап 19.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 2 {(1)}^{2} + 1$

Этап 19.2.1.2

Единица в любой степени равна единице.

$f (1) = 1 - 2 \cdot 1 + 1$

Этап 19.2.1.3

Умножим $- 2$ на $1$ .

$f (1) = 1 - 2 + 1$

Этап 19.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 19.2.2.1

Вычтем $2$ из $1$ .

$f (1) = - 1 + 1$

Этап 19.2.2.2

Добавим $- 1$ и $1$ .

$f (1) = 0$

Этап 19.2.3

Окончательный ответ: $0$ .

$y = 0$

Этап 20

Это локальные экстремумы $f (x) = x^{4} - 2 x^{2} + 1$ .

$(0, 1)$ — локальный максимум

$(- 1, 0)$ — локальный минимум

$(1, 0)$ — локальный минимум

Этап 21