Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - 60 x + 5$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - 60 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$15 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$15 x^{2} - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.3.3

Умножим $- 60$ на $1$ .

$15 x^{2} - 60 + \frac{d}{d x} [5]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$15 x^{2} - 60 + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $15 x^{2} - 60$ и $0$ .

$15 x^{2} - 60$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $15 x^{2} - 60$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 60]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 2.2.3

Умножим $2$ на $15$ .

$f'' (x) = 30 x + \frac{d}{d x} (- 60)$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60$ относительно $x$ равна $0$ .

$f'' (x) = 30 x + 0$

Этап 2.3.2

Добавим $30 x$ и $0$ .

$f'' (x) = 30 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$15 x^{2} - 60 = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - 60 x + 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 60 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 60 x) + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 60 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 60$ является константой относительно $x$ , производная $- 60 x$ по $x$ равна $- 60 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 4.1.3.3

Умножим $- 60$ на $1$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 + \frac{d}{d x} (5)$

Этап 4.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.4.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5$ относительно $x$ равна $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60 + 0$

Этап 4.1.4.2

Добавим $15 x^{2} - 60$ и $0$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 60$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{2} - 60$ .

$15 x^{2} - 60$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{2} - 60 = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{2} - 60 = 0$

Этап 5.2

Добавим $60$ к обеим частям уравнения.

$15 x^{2} = 60$

Этап 5.3

Разделим каждый член $15 x^{2} = 60$ на $15$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разделим каждый член $15 x^{2} = 60$ на $15$ .

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{60}{15}$

Этап 5.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Сократим общий множитель $15$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{15 x^{2}}{15} = \frac{60}{15}$

Этап 5.3.2.1.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{60}{15}$

Этап 5.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим $60$ на $15$ .

$x^{2} = 4$

Этап 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Этап 5.5

Упростим $\pm \sqrt{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Этап 5.5.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 2$

Этап 5.6

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 2$

Этап 5.6.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 2$

Этап 5.6.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 2, - 2$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 2, - 2$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$30 (2)$

Этап 9

Умножим $30$ на $2$ .

$60$

Этап 10

$x = 2$ — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.

$x = 2$ — локальный минимум

Этап 11

Найдем значение y, если $x = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $2$ .

$f (2) = 5 {(2)}^{3} - 60 \cdot 2 + 5$

Этап 11.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.1.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$f (2) = 5 \cdot 8 - 60 \cdot 2 + 5$

Этап 11.2.1.2

Умножим $5$ на $8$ .

$f (2) = 40 - 60 \cdot 2 + 5$

Этап 11.2.1.3

Умножим $- 60$ на $2$ .

$f (2) = 40 - 120 + 5$

Этап 11.2.2

Упростим путем сложения и вычитания.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.2.2.1

Вычтем $120$ из $40$ .

$f (2) = - 80 + 5$

Этап 11.2.2.2

Добавим $- 80$ и $5$ .

$f (2) = - 75$

Этап 11.2.3

Окончательный ответ: $- 75$ .

$y = - 75$

Этап 12

Найдем вторую производную в $x = - 2$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$30 (- 2)$

Этап 13

Умножим $30$ на $- 2$ .

$- 60$

Этап 14

$x = - 2$ — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.

$x = - 2$ — локальный максимум

Этап 15

Найдем значение y, если $x = - 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{3} - 60 \cdot - 2 + 5$

Этап 15.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f (- 2) = 5 \cdot - 8 - 60 \cdot - 2 + 5$

Этап 15.2.1.2

Умножим $5$ на $- 8$ .

$f (- 2) = - 40 - 60 \cdot - 2 + 5$

Этап 15.2.1.3

Умножим $- 60$ на $- 2$ .

$f (- 2) = - 40 + 120 + 5$

Этап 15.2.2

Упростим путем добавления чисел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.2.2.1

Добавим $- 40$ и $120$ .

$f (- 2) = 80 + 5$

Этап 15.2.2.2

Добавим $80$ и $5$ .

$f (- 2) = 85$

Этап 15.2.3

Окончательный ответ: $85$ .

$y = 85$

Этап 16

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{3} - 60 x + 5$ .

$(2, - 75)$ — локальный минимум

$(- 2, 85)$ — локальный максимум

Этап 17