Математический анализ Примеры

$f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - 3 x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$15 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{5}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Этап 1.3.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$15 x^{2} - 15 x^{4}$

Этап 1.4

Изменим порядок членов.

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 15$ является константой относительно $x$ , производная $- 15 x^{4}$ по $x$ равна $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = - 15 \frac{d}{d x} x^{4} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $- 15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (15 x^{2})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{2}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 15 (2 x)$

Этап 2.3.3

Умножим $2$ на $15$ .

$f'' (x) = - 60 x^{3} + 30 x$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $5 x^{3} - 3 x^{5}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [5 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [5 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $5$ является константой относительно $x$ , производная $5 x^{3}$ по $x$ равна $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f' (x) = 5 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $3$ на $5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 3 x^{5})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{5}$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} x^{5}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 3 (5 x^{4})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $5$ на $- 3$ .

$f' (x) = 15 x^{2} - 15 x^{4}$

Этап 4.1.4

Изменим порядок членов.

$f' (x) = - 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$- 15 x^{4} + 15 x^{2} = 0$

Этап 5.2

Разложим левую часть уравнения на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Перепишем $x^{4}$ в виде ${(x^{2})}^{2}$ .

$- 15 {(x^{2})}^{2} + 15 x^{2} = 0$

Этап 5.2.2

Пусть $u = x^{2}$ . Подставим $u$ вместо $x^{2}$ для всех.

$- 15 u^{2} + 15 u = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u^{2} + 15 u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Вынесем множитель $15 u$ из $- 15 u^{2}$ .

$15 u (- u) + 15 u = 0$

Этап 5.2.3.2

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u$ .

$15 u (- u) + 15 u (1) = 0$

Этап 5.2.3.3

Вынесем множитель $15 u$ из $15 u (- u) + 15 u (1)$ .

$15 u (- u + 1) = 0$

Этап 5.2.4

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2}$ .

$15 x^{2} (- x^{2} + 1) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{2} = 0$

$- x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{2}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{2}$ к $0$ .

$x^{2} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{2} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\pm \sqrt{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$x = \pm 0$

Этап 5.4.2.2.3

Плюс или минус $0$ равно $0$ .

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $- x^{2} + 1$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $- x^{2} + 1$ к $0$ .

$- x^{2} + 1 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $- x^{2} + 1 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- x^{2} = - 1$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $- x^{2} = - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.2.2

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 1}$

Этап 5.5.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.3.1

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$x^{2} = 1$

Этап 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{1}$

Этап 5.5.2.4

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$x = \pm 1$

Этап 5.5.2.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$x = 1$

Этап 5.5.2.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$x = - 1$

Этап 5.5.2.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$x = 1, - 1$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $15 x^{2} (- x^{2} + 1) = 0$ верно.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, 1, - 1$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$- 60 {(0)}^{3} + 30 (0)$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 60 \cdot 0 + 30 (0)$

Этап 9.1.2

Умножим $- 60$ на $0$ .

$0 + 30 (0)$

Этап 9.1.3

Умножим $30$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 4$ , из интервала $(- \infty, - 1)$ в первую производную $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 4$ .

$f' (- 4) = - 15 {(- 4)}^{4} + 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 4$ в степень $4$ .

$f' (- 4) = - 15 \cdot 256 + 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $- 15$ на $256$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 15 {(- 4)}^{2}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 4$ в степень $2$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 15 \cdot 16$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $15$ на $16$ .

$f' (- 4) = - 3840 + 240$

Этап 10.2.2.2

Добавим $- 3840$ и $240$ .

$f' (- 4) = - 3600$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $- 3600$ .

$- 3600$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $- 0.5$ , из интервала $(- 1, 0)$ в первую производную $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 0.5$ .

$f' (- 0.5) = - 15 {(- 0.5)}^{4} + 15 {(- 0.5)}^{2}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Возведем $- 0.5$ в степень $4$ .

$f' (- 0.5) = - 15 \cdot 0.0625 + 15 {(- 0.5)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $- 15$ на $0.0625$ .

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 15 {(- 0.5)}^{2}$

Этап 10.3.2.1.3

Возведем $- 0.5$ в степень $2$ .

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 15 \cdot 0.25$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $15$ на $0.25$ .

$f' (- 0.5) = - 0.9375 + 3.75$

Этап 10.3.2.2

Добавим $- 0.9375$ и $3.75$ .

$f' (- 0.5) = 2.8125$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $2.8125$ .

$2.8125$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $0.5$ , из интервала $(0, 1)$ в первую производную $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $0.5$ .

$f' (0.5) = - 15 {(0.5)}^{4} + 15 {(0.5)}^{2}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $0.5$ в степень $4$ .

$f' (0.5) = - 15 \cdot 0.0625 + 15 {(0.5)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $- 15$ на $0.0625$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 15 {(0.5)}^{2}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $0.5$ в степень $2$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 15 \cdot 0.25$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $15$ на $0.25$ .

$f' (0.5) = - 0.9375 + 3.75$

Этап 10.4.2.2

Добавим $- 0.9375$ и $3.75$ .

$f' (0.5) = 2.8125$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $2.8125$ .

$2.8125$

Этап 10.5

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(1, \infty)$ в первую производную $- 15 x^{4} + 15 x^{2}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = - 15 {(4)}^{4} + 15 {(4)}^{2}$

Этап 10.5.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = - 15 \cdot 256 + 15 {(4)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.2

Умножим $- 15$ на $256$ .

$f' (4) = - 3840 + 15 {(4)}^{2}$

Этап 10.5.2.1.3

Возведем $4$ в степень $2$ .

$f' (4) = - 3840 + 15 \cdot 16$

Этап 10.5.2.1.4

Умножим $15$ на $16$ .

$f' (4) = - 3840 + 240$

Этап 10.5.2.2

Добавим $- 3840$ и $240$ .

$f' (4) = - 3600$

Этап 10.5.2.3

Окончательный ответ: $- 3600$ .

$- 3600$

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = - 1$ , $x = - 1$ — локальный минимум.

$x = - 1$ — локальный минимум

Этап 10.7

Поскольку первая производная не меняет знак в окрестности $x = 0$ , в этой точке нет ни локального максимума, ни локального минимума.

Не локальный максимум или минимум

Этап 10.8

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 1$ , $x = 1$ — локальный максимум.

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 10.9

Это локальные экстремумы $f (x) = 5 x^{3} - 3 x^{5}$ .

$x = - 1$ — локальный минимум

$x = 1$ — локальный максимум

$x = - 1$ — локальный минимум

$x = 1$ — локальный максимум

Этап 11