Математический анализ Примеры

$f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$

Этап 1

Найдем первую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Этап 1.3.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Этап 2

Найдем вторую производную функции.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

По правилу суммы производная $15 x^{4} - 20 x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (15 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [15 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $15$ является константой относительно $x$ , производная $15 x^{4}$ по $x$ равна $15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 15 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f'' (x) = 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 2.2.3

Умножим $4$ на $15$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 20 x^{3})$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 20 x^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 20$ является константой относительно $x$ , производная $- 20 x^{3}$ по $x$ равна $- 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 \frac{d}{d x} x^{3}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 20 (3 x^{2})$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $- 20$ .

$f'' (x) = 60 x^{3} - 60 x^{2}$

Этап 3

Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к $0$ и решим полученное уравнение.

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Этап 4

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем первую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

По правилу суммы производная $3 x^{5} - 5 x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 4.1.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{5}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.2.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{5}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$f' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{5}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 4.1.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 5$ .

$f' (x) = 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 4.1.2.3

Умножим $5$ на $3$ .

$f' (x) = 15 x^{4} + \frac{d}{d x} (- 5 x^{4})$

Этап 4.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 5 x^{4}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.3.1

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5 x^{4}$ по $x$ равна $- 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 \frac{d}{d x} x^{4}$

Этап 4.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 4$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 5 (4 x^{3})$

Этап 4.1.3.3

Умножим $4$ на $- 5$ .

$f' (x) = 15 x^{4} - 20 x^{3}$

Этап 4.2

Первая производная $f (x)$ по $x$ равна $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3}$

Этап 5

Приравняем первую производную к $0$ , затем найдем решение уравнения $15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Пусть первая производная равна $0$ .

$15 x^{4} - 20 x^{3} = 0$

Этап 5.2

Вынесем множитель $5 x^{3}$ из $15 x^{4} - 20 x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $5 x^{3}$ из $15 x^{4}$ .

$5 x^{3} (3 x) - 20 x^{3} = 0$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $5 x^{3}$ из $- 20 x^{3}$ .

$5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4) = 0$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $5 x^{3}$ из $5 x^{3} (3 x) + 5 x^{3} (- 4)$ .

$5 x^{3} (3 x - 4) = 0$

Этап 5.3

Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен $0$ , все выражение равно $0$ .

$x^{3} = 0$

$3 x - 4 = 0$

Этап 5.4

Приравняем $x^{3}$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Приравняем $x^{3}$ к $0$ .

$x^{3} = 0$

Этап 5.4.2

Решим $x^{3} = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \sqrt[3]{0}$

Этап 5.4.2.2

Упростим $\sqrt[3]{0}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.2.2.1

Перепишем $0$ в виде $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Этап 5.4.2.2.2

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что это вещественные числа.

$x = 0$

Этап 5.5

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ , затем решим относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Приравняем $3 x - 4$ к $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Этап 5.5.2

Решим $3 x - 4 = 0$ относительно $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Добавим $4$ к обеим частям уравнения.

$3 x = 4$

Этап 5.5.2.2

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Разделим каждый член $3 x = 4$ на $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.5.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Этап 5.5.2.2.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Этап 5.6

Окончательным решением являются все значения, при которых $5 x^{3} (3 x - 4) = 0$ верно.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Этап 6

Найдем значения, при которых производная не определена.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.

Этап 7

Критические точки, которые необходимо вычислить.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Этап 8

Найдем вторую производную в $x = 0$ . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.

$60 {(0)}^{3} - 60 {(0)}^{2}$

Этап 9

Найдем вторую производную.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$60 \cdot 0 - 60 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.2

Умножим $60$ на $0$ .

$0 - 60 {(0)}^{2}$

Этап 9.1.3

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 - 60 \cdot 0$

Этап 9.1.4

Умножим $- 60$ на $0$ .

$0 + 0$

Этап 9.2

Добавим $0$ и $0$ .

$0$

Этап 10

Поскольку есть по крайней мере одна точка с $0$ или неопределенной второй производной, изучим изменение знака первой производной.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Разобьем $(- \infty, \infty)$ на отдельные интервалы в окрестности значений $x$ , при которых первая производная равна $0$ или не определена.

$(- \infty, 0) \cup (0, \frac{4}{3}) \cup (\frac{4}{3}, \infty)$

Этап 10.2

Подставим любое число такое, что $- 2$ , из интервала $(- \infty, 0)$ в первую производную $15 x^{4} - 20 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $- 2$ .

$f' (- 2) = 15 {(- 2)}^{4} - 20 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.2.2.1.1

Возведем $- 2$ в степень $4$ .

$f' (- 2) = 15 \cdot 16 - 20 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.2

Умножим $15$ на $16$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 {(- 2)}^{3}$

Этап 10.2.2.1.3

Возведем $- 2$ в степень $3$ .

$f' (- 2) = 240 - 20 \cdot - 8$

Этап 10.2.2.1.4

Умножим $- 20$ на $- 8$ .

$f' (- 2) = 240 + 160$

Этап 10.2.2.2

Добавим $240$ и $160$ .

$f' (- 2) = 400$

Этап 10.2.2.3

Окончательный ответ: $400$ .

$400$

Этап 10.3

Подставим любое число такое, что $1$ , из интервала $(0, \frac{4}{3})$ в первую производную $15 x^{4} - 20 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $1$ .

$f' (1) = 15 {(1)}^{4} - 20 {(1)}^{3}$

Этап 10.3.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.3.2.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 15 \cdot 1 - 20 {(1)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.2

Умножим $15$ на $1$ .

$f' (1) = 15 - 20 {(1)}^{3}$

Этап 10.3.2.1.3

Единица в любой степени равна единице.

$f' (1) = 15 - 20 \cdot 1$

Этап 10.3.2.1.4

Умножим $- 20$ на $1$ .

$f' (1) = 15 - 20$

Этап 10.3.2.2

Вычтем $20$ из $15$ .

$f' (1) = - 5$

Этап 10.3.2.3

Окончательный ответ: $- 5$ .

$- 5$

Этап 10.4

Подставим любое число такое, что $4$ , из интервала $(\frac{4}{3}, \infty)$ в первую производную $15 x^{4} - 20 x^{3}$ , чтобы проверить знак результата (отрицательный или положительный).

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Заменим в этом выражении переменную $x$ на $4$ .

$f' (4) = 15 {(4)}^{4} - 20 {(4)}^{3}$

Этап 10.4.2

Упростим результат.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.2.1.1

Возведем $4$ в степень $4$ .

$f' (4) = 15 \cdot 256 - 20 {(4)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.2

Умножим $15$ на $256$ .

$f' (4) = 3840 - 20 {(4)}^{3}$

Этап 10.4.2.1.3

Возведем $4$ в степень $3$ .

$f' (4) = 3840 - 20 \cdot 64$

Этап 10.4.2.1.4

Умножим $- 20$ на $64$ .

$f' (4) = 3840 - 1280$

Этап 10.4.2.2

Вычтем $1280$ из $3840$ .

$f' (4) = 2560$

Этап 10.4.2.3

Окончательный ответ: $2560$ .

$2560$

Этап 10.5

Поскольку первая производная меняет знак с положительного на отрицательный в окрестности $x = 0$ , $x = 0$ — локальный максимум.

$x = 0$ — локальный максимум

Этап 10.6

Поскольку первая производная меняет знак с отрицательного на положительный в окрестности $x = \frac{4}{3}$ , $x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум.

$x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум

Этап 10.7

Это локальные экстремумы $f (x) = 3 x^{5} - 5 x^{4}$ .

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум

$x = 0$ — локальный максимум

$x = \frac{4}{3}$ — локальный минимум

Этап 11