Математический анализ Примеры

Найти локальный максимум и минимум f(x)=2x^3+3x^2-12x+5
Этап 1
Найдем первую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Умножим на .
Этап 1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3
Умножим на .
Этап 1.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.4.3
Умножим на .
Этап 1.5
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.5.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.5.2
Добавим и .
Этап 2
Найдем вторую производную функции.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3
Умножим на .
Этап 2.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.3
Умножим на .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 2.4.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.4.2
Добавим и .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.2
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.2.3
Умножим на .
Этап 4.1.3
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.3.3
Умножим на .
Этап 4.1.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.4.3
Умножим на .
Этап 4.1.5
Продифференцируем, используя правило константы.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1.5.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.5.2
Добавим и .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Приравняем первую производную к , затем найдем решение уравнения .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Разложим левую часть уравнения на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1
Вынесем множитель из .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.4
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1.5
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.2
Разложим на множители.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1
Разложим на множители, используя метод группировки.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.2.2.1.1
Рассмотрим форму . Найдем пару целых чисел, произведение которых равно , а сумма — . В данном случае произведение чисел равно , а сумма — .
Этап 5.2.2.1.2
Запишем разложение на множители, используя данные целые числа.
Этап 5.2.2.2
Избавимся от ненужных скобок.
Этап 5.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 5.4
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.4.1
Приравняем к .
Этап 5.4.2
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.5.1
Приравняем к .
Этап 5.5.2
Вычтем из обеих частей уравнения.
Этап 5.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 6
Найдем значения, при которых производная не определена.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 9.1
Умножим на .
Этап 9.2
Добавим и .
Этап 10
 — локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
 — локальный минимум
Этап 11
Найдем значение y, если .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.1.1
Единица в любой степени равна единице.
Этап 11.2.1.2
Умножим на .
Этап 11.2.1.3
Единица в любой степени равна единице.
Этап 11.2.1.4
Умножим на .
Этап 11.2.1.5
Умножим на .
Этап 11.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 11.2.2.1
Добавим и .
Этап 11.2.2.2
Вычтем из .
Этап 11.2.2.3
Добавим и .
Этап 11.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 12
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 13
Найдем вторую производную.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 13.1
Умножим на .
Этап 13.2
Добавим и .
Этап 14
 — локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
 — локальный максимум
Этап 15
Найдем значение y, если .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 15.2
Упростим результат.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 15.2.1.2
Умножим на .
Этап 15.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 15.2.1.4
Умножим на .
Этап 15.2.1.5
Умножим на .
Этап 15.2.2
Упростим путем добавления чисел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 15.2.2.1
Добавим и .
Этап 15.2.2.2
Добавим и .
Этап 15.2.2.3
Добавим и .
Этап 15.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 16
Это локальные экстремумы .
 — локальный минимум
 — локальный максимум
Этап 17