Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2
Найдем значение .
Этап 1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Умножим на .
Этап 1.3
Найдем значение .
Этап 1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.3
Умножим на .
Этап 1.4
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.4.2
Добавим и .
Этап 2
Этап 2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.2
Найдем значение .
Этап 2.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.2.3
Умножим на .
Этап 2.3
Найдем значение .
Этап 2.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.3
Умножим на .
Этап 3
Чтобы найти локальные максимумы и минимумы функции, приравняем производную к и решим полученное уравнение.
Этап 4
Этап 4.1
Найдем первую производную.
Этап 4.1.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.1.2
Найдем значение .
Этап 4.1.2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.2.3
Умножим на .
Этап 4.1.3
Найдем значение .
Этап 4.1.3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.1.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.1.3.3
Умножим на .
Этап 4.1.4
Продифференцируем, используя правило константы.
Этап 4.1.4.1
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.1.4.2
Добавим и .
Этап 4.2
Первая производная по равна .
Этап 5
Этап 5.1
Пусть первая производная равна .
Этап 5.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 5.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 5.3
Если любой отдельный множитель в левой части уравнения равен , все выражение равно .
Этап 5.4
Приравняем к .
Этап 5.5
Приравняем к , затем решим относительно .
Этап 5.5.1
Приравняем к .
Этап 5.5.2
Решим относительно .
Этап 5.5.2.1
Добавим к обеим частям уравнения.
Этап 5.5.2.2
Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.
Этап 5.5.2.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 5.5.2.3.1
Сначала с помощью положительного значения найдем первое решение.
Этап 5.5.2.3.2
Затем, используя отрицательное значение , найдем второе решение.
Этап 5.5.2.3.3
Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.
Этап 5.6
Окончательным решением являются все значения, при которых верно.
Этап 6
Этап 6.1
Область определения выражения ― все действительные числа, за исключением случаев, когда выражение не определено. В данном случае не существует вещественного числа, при котором выражение не определено.
Этап 7
Критические точки, которые необходимо вычислить.
Этап 8
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 9
Этап 9.1
Упростим каждый член.
Этап 9.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 9.1.2
Умножим на .
Этап 9.2
Вычтем из .
Этап 10
— локальный максимум, так как вторая производная отрицательная. Это называется тестом второй производной.
— локальный максимум
Этап 11
Этап 11.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 11.2
Упростим результат.
Этап 11.2.1
Упростим каждый член.
Этап 11.2.1.1
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 11.2.1.2
Умножим на .
Этап 11.2.1.3
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 11.2.1.4
Умножим на .
Этап 11.2.2
Упростим путем добавления чисел.
Этап 11.2.2.1
Добавим и .
Этап 11.2.2.2
Добавим и .
Этап 11.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 12
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 13
Этап 13.1
Упростим каждый член.
Этап 13.1.1
Перепишем в виде .
Этап 13.1.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 13.1.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 13.1.1.3
Объединим и .
Этап 13.1.1.4
Сократим общий множитель .
Этап 13.1.1.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 13.1.1.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 13.1.1.5
Найдем экспоненту.
Этап 13.1.2
Умножим на .
Этап 13.2
Вычтем из .
Этап 14
— локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
— локальный минимум
Этап 15
Этап 15.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 15.2
Упростим результат.
Этап 15.2.1
Упростим каждый член.
Этап 15.2.1.1
Перепишем в виде .
Этап 15.2.1.1.1
С помощью запишем в виде .
Этап 15.2.1.1.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 15.2.1.1.3
Объединим и .
Этап 15.2.1.1.4
Сократим общий множитель и .
Этап 15.2.1.1.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.1.1.4.2
Сократим общие множители.
Этап 15.2.1.1.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 15.2.1.1.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 15.2.1.1.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 15.2.1.1.4.2.4
Разделим на .
Этап 15.2.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 15.2.1.2.1
Умножим на .
Этап 15.2.1.2.1.1
Возведем в степень .
Этап 15.2.1.2.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 15.2.1.2.2
Добавим и .
Этап 15.2.1.3
Возведем в степень .
Этап 15.2.1.4
Перепишем в виде .
Этап 15.2.1.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 15.2.1.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 15.2.1.4.3
Объединим и .
Этап 15.2.1.4.4
Сократим общий множитель .
Этап 15.2.1.4.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 15.2.1.4.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 15.2.1.4.5
Найдем экспоненту.
Этап 15.2.1.5
Умножим на .
Этап 15.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 15.2.2.1
Вычтем из .
Этап 15.2.2.2
Добавим и .
Этап 15.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 16
Найдем вторую производную в . Если вторая производная положительна, то это локальный минимум. Если она отрицательна, то это локальный максимум.
Этап 17
Этап 17.1
Упростим каждый член.
Этап 17.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 17.1.2
Возведем в степень .
Этап 17.1.3
Умножим на .
Этап 17.1.4
Перепишем в виде .
Этап 17.1.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 17.1.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 17.1.4.3
Объединим и .
Этап 17.1.4.4
Сократим общий множитель .
Этап 17.1.4.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 17.1.4.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 17.1.4.5
Найдем экспоненту.
Этап 17.1.5
Умножим на .
Этап 17.2
Вычтем из .
Этап 18
— локальный минимум, так как вторая производная положительная. Это называется тестом второй производной.
— локальный минимум
Этап 19
Этап 19.1
Заменим в этом выражении переменную на .
Этап 19.2
Упростим результат.
Этап 19.2.1
Упростим каждый член.
Этап 19.2.1.1
Применим правило умножения к .
Этап 19.2.1.2
Возведем в степень .
Этап 19.2.1.3
Умножим на .
Этап 19.2.1.4
Перепишем в виде .
Этап 19.2.1.4.1
С помощью запишем в виде .
Этап 19.2.1.4.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 19.2.1.4.3
Объединим и .
Этап 19.2.1.4.4
Сократим общий множитель и .
Этап 19.2.1.4.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 19.2.1.4.4.2
Сократим общие множители.
Этап 19.2.1.4.4.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 19.2.1.4.4.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 19.2.1.4.4.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 19.2.1.4.4.2.4
Разделим на .
Этап 19.2.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 19.2.1.5.1
Умножим на .
Этап 19.2.1.5.1.1
Возведем в степень .
Этап 19.2.1.5.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 19.2.1.5.2
Добавим и .
Этап 19.2.1.6
Возведем в степень .
Этап 19.2.1.7
Применим правило умножения к .
Этап 19.2.1.8
Возведем в степень .
Этап 19.2.1.9
Умножим на .
Этап 19.2.1.10
Перепишем в виде .
Этап 19.2.1.10.1
С помощью запишем в виде .
Этап 19.2.1.10.2
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 19.2.1.10.3
Объединим и .
Этап 19.2.1.10.4
Сократим общий множитель .
Этап 19.2.1.10.4.1
Сократим общий множитель.
Этап 19.2.1.10.4.2
Перепишем это выражение.
Этап 19.2.1.10.5
Найдем экспоненту.
Этап 19.2.1.11
Умножим на .
Этап 19.2.2
Упростим путем сложения и вычитания.
Этап 19.2.2.1
Вычтем из .
Этап 19.2.2.2
Добавим и .
Этап 19.2.3
Окончательный ответ: .
Этап 20
Это локальные экстремумы .
— локальный максимум
— локальный минимум
— локальный минимум
Этап 21