Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 10 x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $10$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2.4

Найдем значения пределов, подставив значение $- 10$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 lim_{x \to - 10} x}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{{(- 10)}^{2} + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$\frac{100 + 10 \cdot - 10}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2.5.1.2

Умножим $10$ на $- 10$ .

$\frac{100 - 100}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.2.5.2

Вычтем $100$ из $100$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} (x^{2} + 100) (x + 10)}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 10} x^{2} + 100 \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Этап 1.1.3.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Этап 1.1.3.3

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Этап 1.1.3.4

Найдем предел $100$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot lim_{x \to - 10} x + 10}$

Этап 1.1.3.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10)}$

Этап 1.1.3.6

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{0}{({(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Этап 1.1.3.7

Найдем значения пределов, подставив значение $- 10$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.7.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (lim_{x \to - 10} x + 10)}$

Этап 1.1.3.7.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{0}{({(- 10)}^{2} + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Этап 1.1.3.8

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.8.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$\frac{0}{(100 + 100) \cdot (- 10 + 10)}$

Этап 1.1.3.8.2

Добавим $100$ и $100$ .

$\frac{0}{200 \cdot (- 10 + 10)}$

Этап 1.1.3.8.3

Добавим $- 10$ и $10$ .

$\frac{0}{200 \cdot 0}$

Этап 1.1.3.8.4

Умножим $200$ на $0$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.8.5

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.9

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to - 10} \frac{x^{2} + 10 x}{(x^{2} + 100) (x + 10)} = lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 10 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [10 x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [10 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10 x$ по $x$ равна $10 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $10$ на $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{\frac{d}{d x} [(x^{2} + 100) (x + 10)]}$

Этап 1.3.5

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2} + 100$ и $g (x) = x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \frac{d}{d x} [x + 10] + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Этап 1.3.6

По правилу суммы производная $x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Этап 1.3.7

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + \frac{d}{d x} [10]) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Этап 1.3.8

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) (1 + 0) + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Этап 1.3.9

Добавим $1$ и $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{(x^{2} + 100) \cdot 1 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Этап 1.3.10

Умножим $x^{2} + 100$ на $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) \frac{d}{d x} [x^{2} + 100]}$

Этап 1.3.11

По правилу суммы производная $x^{2} + 100$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [100])}$

Этап 1.3.12

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + \frac{d}{d x} [100])}$

Этап 1.3.13

Поскольку $100$ является константой относительно $x$ , производная $100$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x + 0)}$

Этап 1.3.14

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (x + 10) (2 x)}$

Этап 1.3.15

Перенесем $2$ влево от $x + 10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 \cdot (x + 10) x}$

Этап 1.3.16

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.16.1

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + (2 x + 2 \cdot 10) x}$

Этап 1.3.16.2

Применим свойство дистрибутивности.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x \cdot x + 2 \cdot 10 x}$

Этап 1.3.16.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.16.3.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x) + 2 \cdot 10 x}$

Этап 1.3.16.3.2

Возведем $x$ в степень $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 10 x}$

Этап 1.3.16.3.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 10 x}$

Этап 1.3.16.3.4

Добавим $1$ и $1$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 2 \cdot 10 x}$

Этап 1.3.16.3.5

Умножим $2$ на $10$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{x^{2} + 100 + 2 x^{2} + 20 x}$

Этап 1.3.16.3.6

Добавим $x^{2}$ и $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 100 + 20 x}$

Этап 1.3.16.4

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to - 10} \frac{2 x + 10}{3 x^{2} + 20 x + 100}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{lim_{x \to - 10} 2 x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Этап 2.4

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + 20 x + 100}$

Этап 2.5

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{lim_{x \to - 10} 3 x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Этап 2.6

Вынесем член $3$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 lim_{x \to - 10} x^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Этап 2.7

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + lim_{x \to - 10} 20 x + lim_{x \to - 10} 100}$

Этап 2.8

Вынесем член $20$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + lim_{x \to - 10} 100}$

Этап 2.9

Найдем предел $100$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 10$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 10} x + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $- 10$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(lim_{x \to - 10} x)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 lim_{x \to - 10} x + 100}$

Этап 3.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 10$ для $x$ .

$\frac{2 \cdot - 10 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $- 10$ .

$\frac{- 20 + 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Этап 4.1.2

Добавим $- 20$ и $10$ .

$\frac{- 10}{3 {(- 10)}^{2} + 20 \cdot - 10 + 100}$

Этап 4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$\frac{- 10}{3 \cdot 100 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $100$ .

$\frac{- 10}{300 + 20 \cdot - 10 + 100}$

Этап 4.2.3

Умножим $20$ на $- 10$ .

$\frac{- 10}{300 - 200 + 100}$

Этап 4.2.4

Вычтем $200$ из $300$ .

$\frac{- 10}{100 + 100}$

Этап 4.2.5

Добавим $100$ и $100$ .

$\frac{- 10}{200}$

Этап 4.3

Сократим общий множитель $- 10$ и $200$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вынесем множитель $10$ из $- 10$ .

$\frac{10 (- 1)}{200}$

Этап 4.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Вынесем множитель $10$ из $200$ .

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Этап 4.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{10 \cdot - 1}{10 \cdot 20}$

Этап 4.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{- 1}{20}$

Этап 4.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{1}{20}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{20}$

Десятичная форма:

$- 0.05$