Математический анализ Примеры

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{1}{3} + \frac{1}{x}}{3 + x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы записать $\frac{1}{3}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{3 + x}$

Этап 1.2

Чтобы записать $\frac{1}{x}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3}}{3 + x}$

Этап 1.3

Запишем каждое выражение с общим знаменателем $3 x$ , умножив на подходящий множитель $1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{x}{3 x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{3}{3}}{3 + x}$

Этап 1.3.2

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{x}{3 x} + \frac{3}{x \cdot 3}}{3 + x}$

Этап 1.3.3

Изменим порядок множителей в $x \cdot 3$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{x}{3 x} + \frac{3}{3 x}}{3 + x}$

Этап 1.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to - 3} \frac{\frac{x + 3}{3 x}}{3 + x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим выражение под знаком предела.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$lim_{x \to - 3} \frac{x + 3}{3 x} \cdot \frac{1}{3 + x}$

Этап 2.1.2

Умножим $\frac{x + 3}{3 x}$ на $\frac{1}{3 + x}$ .

$lim_{x \to - 3} \frac{x + 3}{3 x (3 + x)}$

Этап 2.1.3

Сократим общий множитель $x + 3$ и $3 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Изменим порядок членов.

$lim_{x \to - 3} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)}$

Этап 2.1.3.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to - 3} \frac{x + 3}{3 x (x + 3)}$

Этап 2.1.3.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to - 3} \frac{1}{3 x}$

Этап 2.2

Вынесем член $\frac{1}{3}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to - 3} \frac{1}{x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to - 3} 1}{lim_{x \to - 3} x}$

Этап 2.4

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $- 3$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 3} x}$

Этап 3

Найдем предел $x$ , подставив значение $- 3$ для $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{- 3}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{3} (- \frac{1}{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{3}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3}$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $3$ .

$- \frac{1}{9}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{1}{9}$

Десятичная форма:

$- 0.\overline{1}$