Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} - 25}$

Этап 1

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 7 x + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 7 x + lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 7 x + lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.3

Вынесем член $7$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 5} x + lim_{x \to 5} 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.4

Найдем предел $10$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 7 lim_{x \to 5} x + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 7 lim_{x \to 5} x + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{5^{2} - 7 \cdot 5 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.6.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{25 - 7 \cdot 5 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.6.1.2

Умножим $- 7$ на $5$ .

$\frac{25 - 35 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.6.2

Вычтем $35$ из $25$ .

$\frac{- 10 + 10}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.2.6.3

Добавим $- 10$ и $10$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}$

Этап 1.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}$

Этап 1.1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}$

Этап 1.1.3.1.3

Найдем предел $25$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{0}{5^{2} - 1 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.3.1.1

Возведем $5$ в степень $2$ .

$\frac{0}{25 - 1 \cdot 25}$

Этап 1.1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $25$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Этап 1.1.3.3.2

Вычтем $25$ из $25$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 7 x + 10}{x^{2} - 25} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 7 x + 10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.2

По правилу суммы производная $x^{2} - 7 x + 10$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 7 x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 7 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.4.1

Поскольку $- 7$ является константой относительно $x$ , производная $- 7 x$ по $x$ равна $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.4.3

Умножим $- 7$ на $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 + \frac{d}{d x} [10]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.5

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.6

Добавим $2 x - 7$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}$

Этап 1.3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 25$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 1.3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}$

Этап 1.3.9

Поскольку $- 25$ является константой относительно $x$ , производная $- 25$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{2 x + 0}$

Этап 1.3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{2 x}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем член $\frac{1}{2}$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 5} \frac{2 x - 7}{x}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 2 x - 7}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 2.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 7}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 2.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 7}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 2.5

Найдем предел $7$ , который является константой по мере приближения $x$ к $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $5$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 7}{lim_{x \to 5} x}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $5$ для $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{2 \cdot 5 - 1 \cdot 7}{5}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10 - 1 \cdot 7}{5}$

Этап 4.1.2

Умножим $- 1$ на $7$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{10 - 7}{5}$

Этап 4.1.3

Вычтем $7$ из $10$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$

Этап 4.2

Умножим $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{3}{5}$ .

$\frac{3}{2 \cdot 5}$

Этап 4.2.2

Умножим $2$ на $5$ .

$\frac{3}{10}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{3}{10}$

Десятичная форма:

$0.3$