Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x^{2} + 4 x}$

Этап 1

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 4 x}$

Этап 2

Применим правило Лопиталя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4 x}$

Этап 2.1.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + 4 x}$

Этап 2.1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Этап 2.1.3.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$2 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + lim_{x \to 0} 4 x}$

Этап 2.1.3.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.4

Найдем значения пределов, подставив значение $0$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{0^{2} + 4 lim_{x \to 0} x}$

Этап 2.1.3.4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{0}{0^{2} + 4 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.3.5.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$2 \frac{0}{0 + 4 \cdot 0}$

Этап 2.1.3.5.1.2

Умножим $4$ на $0$ .

$2 \frac{0}{0 + 0}$

Этап 2.1.3.5.2

Добавим $0$ и $0$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.5.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.3.6

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$2 (\frac{0}{0})$

Этап 2.2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{x^{2} + 4 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]}$

Этап 2.3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]}$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x]}$

Этап 2.3.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 2.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + \frac{d}{d x} [4 x]}$

Этап 2.3.5

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x]}$

Этап 2.3.5.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 4 \cdot 1}$

Этап 2.3.5.3

Умножим $4$ на $1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{1}{2 x + 4}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 2 x + 4}$

Этап 3.2

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + 4}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $0$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to 0} 2 x + lim_{x \to 0} 4}$

Этап 3.4

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 4}$

Этап 3.5

Найдем предел $4$ , который является константой по мере приближения $x$ к $0$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to 0} x + 4}$

Этап 4

Найдем предел $x$ , подставив значение $0$ для $x$ .

$2 \frac{1}{2 \cdot 0 + 4}$

Этап 5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Умножим $2$ на $0$ .

$2 \frac{1}{0 + 4}$

Этап 5.1.2

Добавим $0$ и $4$ .

$2 (\frac{1}{4})$

Этап 5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$2 \frac{1}{2 (2)}$

Этап 5.2.2

Сократим общий множитель.

$2 \frac{1}{2 \cdot 2}$

Этап 5.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2}$

Этап 6

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$\frac{1}{2}$

Десятичная форма:

$0.5$