Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}}$ в виде $e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(e^{x} + 1)}^{\frac{2}{x}})$ , вынося $\frac{2}{x}$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Этап 2

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \ln (e^{x} + 1)}$

Этап 2.2

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{2}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Этап 2.3

Вынесем член $2$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{2 lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Этап 2.4

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{2 \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Этап 2.5

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (e^{x} + 1)}$

Этап 2.6

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + 1)}$

Этап 2.7

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} e^{x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Этап 2.8

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + lim_{x \to 8} 1)}$

Этап 2.9

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{2 \frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Этап 3

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{lim_{x \to 8} x} + 1)}$

Этап 3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{2 (\frac{1}{8}) \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Этап 4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$e^{2 \frac{1}{2 (4)} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Этап 4.1.2

Сократим общий множитель.

$e^{2 \frac{1}{2 \cdot 4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Этап 4.1.3

Перепишем это выражение.

$e^{\frac{1}{4} \cdot \ln (e^{8} + 1)}$

Этап 4.2

Объединим $\frac{1}{4}$ и $\ln (e^{8} + 1)$ .

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Этап 5

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e^{\frac{\ln (e^{8} + 1)}{4}}$

Десятичная форма:

$7.38967570 \dots$