Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{\cot (x)}$

Этап 1

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(1 + x)}^{\cot (x)}$ в виде $e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})}$

Этап 1.2

Развернем $\ln ({(1 + x)}^{\cot (x)})$ , вынося $\cot (x)$ из логарифма.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + x)}$

Этап 2

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + x)}$

Этап 3

Рассмотрим левосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Этап 4

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (x) \ln (1 + x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ - 0.1 & 1.05009079 \\ - 0.01 & 1.00500008 \\ - 0.001 & 1.0005 \\ - 0.0001 & 1.00005 \\ - 0.00001 & 1.00000499 \end{array}$

Этап 5

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $\cot (x) \ln (1 + x)$ , когда $x$ стремится к $0$ слева, равен $1$ .

$1$

Этап 6

Рассмотрим правосторонний предел.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + x)$

Этап 7

Создадим таблицу, чтобы показать поведение функции $\cot (x) \ln (1 + x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + x) \\ 0.1 & 0.94992267 \\ 0.01 & 0.99499991 \\ 0.001 & 0.99949999 \\ 0.0001 & 0.99995 \\ 0.00001 & 0.99999499 \end{array}$

Этап 8

Если значения $x$ стремятся к $0$ , значения функции стремятся к $1$ . Таким образом, предел $\cot (x) \ln (1 + x)$ , когда $x$ стремится к $0$ справа, равен $1$ .

$e^{1}$

Этап 9

Упростим.

$e$

Этап 10

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$e$

Десятичная форма:

$2.71828182 \dots$