Математический анализ Примеры

Оценить предел предел (1-cos(x))/(tan(x)^2), если x стремится к 0
Этап 1
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 1.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.1
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.1.1
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 1.1.2.1.2
Найдем предел , который является константой по мере приближения к .
Этап 1.1.2.1.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 1.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.2.3
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.3.1
Упростим каждый член.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.2.3.1.1
Точное значение : .
Этап 1.1.2.3.1.2
Умножим на .
Этап 1.1.2.3.2
Вычтем из .
Этап 1.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.1.1
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 1.1.3.1.2
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.
Этап 1.1.3.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 1.1.3.3
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.1.3.3.1
Точное значение : .
Этап 1.1.3.3.2
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 1.1.3.3.3
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.3.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 1.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 1.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.4
Найдем значение .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.3.4.2
Производная по равна .
Этап 1.3.4.3
Умножим на .
Этап 1.3.4.4
Умножим на .
Этап 1.3.5
Добавим и .
Этап 1.3.6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 1.3.6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.3.6.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3.7
Производная по равна .
Этап 1.3.8
Изменим порядок множителей в .
Этап 2
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 3
Применим правило Лопиталя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1
Найдем предел числителя и предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.1
Возьмем предел числителя и предел знаменателя.
Этап 3.1.2
Найдем предел числителя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.2.1
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку синус является непрерывной функцией.
Этап 3.1.2.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.1.2.3
Точное значение : .
Этап 3.1.3
Найдем предел знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.1
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 3.1.3.2
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 3.1.3.3
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.
Этап 3.1.3.4
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.
Этап 3.1.3.5
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.5.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.1.3.5.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 3.1.3.6
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.1.3.6.1
Точное значение : .
Этап 3.1.3.6.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 3.1.3.6.3
Умножим на .
Этап 3.1.3.6.4
Точное значение : .
Этап 3.1.3.6.5
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.1.3.7
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.1.4
Выражение содержит деление на . Выражение не определено.
Неопределенные
Этап 3.2
Поскольку является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.
Этап 3.3
Найдем производную числителя и знаменателя.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.1
Продифференцируем числитель и знаменатель.
Этап 3.3.2
Производная по равна .
Этап 3.3.3
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3.4
Производная по равна .
Этап 3.3.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.5.1
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.5.2
Добавим и .
Этап 3.3.6
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 3.3.6.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.3.6.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.6.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.3.7
Перенесем влево от .
Этап 3.3.8
Производная по равна .
Этап 3.3.9
Возведем в степень .
Этап 3.3.10
Возведем в степень .
Этап 3.3.11
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.12
Добавим и .
Этап 3.3.13
Возведем в степень .
Этап 3.3.14
Возведем в степень .
Этап 3.3.15
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 3.3.16
Добавим и .
Этап 3.3.17
Изменим порядок членов.
Этап 4
Вычислим предел.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 4.1
Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении к .
Этап 4.2
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку косинус является непрерывной функцией.
Этап 4.3
Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении к .
Этап 4.4
Вынесем член из-под знака предела, так как он не зависит от .
Этап 4.5
Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении к .
Этап 4.6
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 4.7
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.
Этап 4.8
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 4.9
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку тангенс — непрерывная функция.
Этап 4.10
Вынесем степень в выражении из-под знака предела по правилу степени для пределов.
Этап 4.11
Перенесем предел внутрь тригонометрической функции, поскольку секанс — непрерывная функция.
Этап 5
Найдем значения пределов, подставив значение для всех вхождений .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 5.1
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.2
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.3
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 5.4
Найдем предел , подставив значение для .
Этап 6
Упростим ответ.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.1
Точное значение : .
Этап 6.2
Упростим знаменатель.
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.2.1
Точное значение : .
Этап 6.2.2
Единица в любой степени равна единице.
Этап 6.2.3
Умножим на .
Этап 6.2.4
Точное значение : .
Этап 6.2.5
Возведение в любую положительную степень дает .
Этап 6.2.6
Умножим на .
Этап 6.2.7
Точное значение : .
Этап 6.2.8
Единица в любой степени равна единице.
Этап 6.2.9
Добавим и .
Этап 6.3
Сократим общий множитель .
Нажмите для увеличения количества этапов...
Этап 6.3.1
Сократим общий множитель.
Этап 6.3.2
Перепишем это выражение.
Этап 6.4
Умножим на .
Этап 7
Результат можно представить в различном виде.
Точная форма:
Десятичная форма: