Математический анализ Примеры

$x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3} = 10$

Этап 1

Продифференцируем обе части уравнения.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}) = \frac{d}{d x} (10)$

Этап 2

Продифференцируем левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

По правилу суммы производная $x^{3} - 3 x^{2} y + 3 x y^{2} - y^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $- 3$ является константой относительно $x$ , производная $- 3 x^{2} y$ по $x$ равна $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$3 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.2

Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ имеет вид $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.2.5

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y^{2}$ по $x$ равна $3 \frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.2

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.3

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ имеет вид $f' (g (x)) g' (x)$ , где $f (x) = x^{2}$ и $g (x) = y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.3.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.4

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.5

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (x (2 y y') + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.6

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.3.7

Умножим $y^{2}$ на $1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) + \frac{d}{d x} [- y^{3}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [- y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- y^{3}$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Этап 2.4.2

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.2.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{2}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.2.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $y$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Этап 2.4.3

Перепишем $\frac{d}{d x} [y]$ в виде $y'$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - (3 y^{2} y')$

Этап 2.4.4

Умножим $3$ на $- 1$ .

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y' + 2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y' + y^{2}) - 3 y^{2} y'$

Этап 2.5.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 x^{2} - 3 (x^{2} y') - 3 (2 y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 2.5.3

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.3.1

Умножим $2$ на $- 3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 (y x) + 3 (2 x y y') + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 2.5.3.2

Умножим $2$ на $3$ .

$3 x^{2} - 3 x^{2} y' - 6 y x + 6 x y y' + 3 y^{2} - 3 y^{2} y'$

Этап 2.5.4

Изменим порядок членов.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$

Этап 3

Поскольку $10$ является константой относительно $x$ , производная $10$ относительно $x$ равна $0$ .

$0$

Этап 4

Преобразуем уравнение, приравняв левую часть к правой.

$3 x^{2} + 3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = 0$

Этап 5

Решим относительно $y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены без $y'$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Вычтем $3 x^{2}$ из обеих частей уравнения.

$3 y^{2} - 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2}$

Этап 5.1.2

Вычтем $3 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$- 3 x^{2} y' - 6 x y + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2}$

Этап 5.1.3

Добавим $6 x y$ к обеим частям уравнения.

$- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 3 x^{2} y' + 6 x y y' - 3 y^{2} y'$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 3 x^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 6 x y y' - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.2.2

Вынесем множитель $3 y'$ из $6 x y y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) - 3 y^{2} y' = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.2.3

Вынесем множитель $3 y'$ из $- 3 y^{2} y'$ .

$3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.2.4

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' (- x^{2}) + 3 y' (2 x y)$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.2.5

Вынесем множитель $3 y'$ из $3 y' (- x^{2} + 2 x y) + 3 y' (- y^{2})$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3

Разложим на множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Разложим на множители методом группировки

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1

Для многочлена вида $a x^{2} + b x + c$ представим средний член в виде суммы двух членов, произведение которых равно $a \cdot c = - 1 \cdot - 1 = 1$ , а сумма — $b = 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.1.1

Изменим порядок членов.

$3 y' (- x^{2} - y^{2} + 2 x y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.1.2

Изменим порядок $- y^{2}$ и $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.1.3

Вынесем множитель $2$ из $2 x y$ .

$3 y' (- x^{2} + 2 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.1.4

Запишем $2$ как $1$ плюс $1$

$3 y' (- x^{2} + (1 + 1) (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.1.5

Применим свойство дистрибутивности.

$3 y' (- x^{2} + 1 (x y) + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.1.6

Умножим $x y$ на $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + 1 (x y) - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.1.7

Умножим $x y$ на $1$ .

$3 y' (- x^{2} + x y + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.2

Вынесем наибольший общий делитель из каждой группы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1.2.1

Сгруппируем первые два члена и последние два члена.

$3 y' ((- x^{2} + x y) + x y - y^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.2.2

Вынесем наибольший общий делитель (НОД) из каждой группы.

$3 y' (x (- x + y) - y (- x + y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.1.3

Разложим многочлен, вынеся наибольший общий делитель $- x + y$ .

$3 y' ((- x + y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.3.2

Избавимся от ненужных скобок.

$3 y' (- x + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- x$ .

$3 y' (- (x) + y) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.2

Вынесем множитель $- 1$ из $y$ .

$3 y' (- (x) - 1 (- y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (x) - 1 (- y)$ .

$3 y' (- (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.4

Перепишем $- (x - y)$ в виде $- 1 (x - y)$ .

$3 y' (- 1 (x - y)) (x - y) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.5

Избавимся от скобок.

$3 y' \cdot (- 1 (x - y) (x - y)) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.6

Возведем $x - y$ в степень $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.7

Возведем $x - y$ в степень $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 ((x - y) (x - y))) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{1 + 1}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.9

Добавим $1$ и $1$ .

$3 y' \cdot (- 1 {(x - y)}^{2}) = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.4.10

Умножим $- 1$ на $3$ .

$- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$

Этап 5.5

Разделим каждый член $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ на $- 3 {(x - y)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Разделим каждый член $- 3 y' {(x - y)}^{2} = - 3 x^{2} - 3 y^{2} + 6 x y$ на $- 3 {(x - y)}^{2}$ .

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 3 y' {(x - y)}^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.2.2

Сократим общий множитель ${(x - y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y' {(x - y)}^{2}}{{(x - y)}^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.2.2.2

Разделим $y'$ на $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.1.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.3.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.3.1.2

Сократим общий множитель $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{- 3 y^{2}}{- 3 {(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.3.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{6 x y}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.3.1.3

Сократим общий множитель $6$ и $- 3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.3.1

Вынесем множитель $3$ из $6 x y$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{- 3 {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 {(x - y)}^{2}$ .

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Этап 5.5.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{3 (2 x y)}{3 (- {(x - y)}^{2})}$

Этап 5.5.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{2 x y}{- {(x - y)}^{2}}$

Этап 5.5.3.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y' = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$

Этап 6

Заменим $y'$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{{(x - y)}^{2}} + \frac{y^{2}}{{(x - y)}^{2}} - \frac{2 x y}{{(x - y)}^{2}}$