Математический анализ Примеры

${(e^{- t} + e^{t})}^{3}$

Этап 1

Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ имеет вид $f' (g (t)) g' (t)$ , где $f (t) = t^{3}$ и $g (t) = e^{- t} + e^{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{1}$ как $e^{- t} + e^{t}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Этап 1.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ имеет вид $n {u_{1}}^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Этап 1.3

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $e^{- t} + e^{t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} \frac{d}{d t} [e^{- t} + e^{t}]$

Этап 2

По правилу суммы производная $e^{- t} + e^{t}$ по $t$ имеет вид $\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d t} [e^{- t}] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 3

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы применить цепное правило, зададим $u_{2}$ как $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 3.2

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ имеет вид $a^{u_{2}} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 3.3

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $- t$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \frac{d}{d t} [- t] + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 4

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Поскольку $- 1$ является константой относительно $t$ , производная $- t$ по $t$ равна $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ имеет вид $n t^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} (- 1 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 4.3

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (e^{- t} \cdot - 1 + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 4.3.2

Перенесем $- 1$ влево от $e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- 1 \cdot e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 4.3.3

Перепишем $- 1 e^{- t}$ в виде $- e^{- t}$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + \frac{d}{d t} [e^{t}])$

Этап 5

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ имеет вид $a^{t} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$3 {(e^{- t} + e^{t})}^{2} (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем ${(e^{- t} + e^{t})}^{2}$ в виде $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ .

$3 ((e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.2

Развернем $(e^{- t} + e^{t}) (e^{- t} + e^{t})$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (e^{- t} (e^{- t} + e^{t}) + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} (e^{- t} + e^{t})) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$3 (e^{- t} e^{- t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Умножим $e^{- t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (e^{- t - t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.1.2

Вычтем $t$ из $- t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t} e^{t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.2

Умножим $e^{- t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.2.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (e^{- 2 t} + e^{- t + t} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.2.2

Добавим $- t$ и $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + e^{0} + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.3

Упростим $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t} e^{- t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.4

Умножим $e^{t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.4.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{t - t} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.4.2

Вычтем $t$ из $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + e^{0} + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.5

Упростим $e^{0}$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t} e^{t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.6

Умножим $e^{t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.6.1

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{t + t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.1.6.2

Добавим $t$ и $t$ .

$3 (e^{- 2 t} + 1 + 1 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.3.2

Добавим $1$ и $1$ .

$3 (e^{- 2 t} + 2 + e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$(3 e^{- 2 t} + 3 \cdot 2 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.5

Умножим $3$ на $2$ .

$(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$

Этап 6.6

Развернем $(3 e^{- 2 t} + 6 + 3 e^{2 t}) (- e^{- t} + e^{t})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$3 e^{- 2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$3 \cdot - 1 e^{- 2 t} e^{- t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.2

Умножим $e^{- 2 t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.2.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{- 2 t}) + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$3 \cdot - 1 e^{- t - 2 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.2.3

Вычтем $2 t$ из $- t$ .

$3 \cdot - 1 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- 2 t} e^{t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.4

Умножим $e^{- 2 t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.4.1

Перенесем $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 (e^{t} e^{- 2 t}) + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.4.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{t - 2 t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.4.3

Вычтем $2 t$ из $t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} + 6 (- e^{- t}) + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.5

Умножим $- 1$ на $6$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 e^{2 t} (- e^{- t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{2 t} e^{- t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.7

Умножим $e^{2 t}$ на $e^{- t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.7.1

Перенесем $e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 (e^{- t} e^{2 t}) + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.7.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{- t + 2 t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.7.3

Добавим $- t$ и $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} + 3 \cdot - 1 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.8

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{2 t} e^{t}$

Этап 6.7.9

Умножим $e^{2 t}$ на $e^{t}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.7.9.1

Перенесем $e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 (e^{t} e^{2 t})$

Этап 6.7.9.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{t + 2 t}$

Этап 6.7.9.3

Добавим $t$ и $2 t$ .

$- 3 e^{- 3 t} + 3 e^{- t} - 6 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Этап 6.8

Вычтем $6 e^{- t}$ из $3 e^{- t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 6 e^{t} - 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$

Этап 6.9

Вычтем $3 e^{t}$ из $6 e^{t}$ .

$- 3 e^{- 3 t} - 3 e^{- t} + 3 e^{t} + 3 e^{3 t}$