Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{4} {(k + 8)}^{2}$

Этап 1

Упростим суммирование.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Перепишем ${(k + 8)}^{2}$ в виде $(k + 8) (k + 8)$ .

$(k + 8) (k + 8)$

Этап 1.2

Развернем $(k + 8) (k + 8)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$k (k + 8) + 8 (k + 8)$

Этап 1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot 8 + 8 (k + 8)$

Этап 1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$k \cdot k + k \cdot 8 + 8 k + 8 \cdot 8$

Этап 1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Умножим $k$ на $k$ .

$k^{2} + k \cdot 8 + 8 k + 8 \cdot 8$

Этап 1.3.1.2

Перенесем $8$ влево от $k$ .

$k^{2} + 8 \cdot k + 8 k + 8 \cdot 8$

Этап 1.3.1.3

Умножим $8$ на $8$ .

$k^{2} + 8 k + 8 k + 64$

Этап 1.3.2

Добавим $8 k$ и $8 k$ .

$k^{2} + 16 k + 64$

Этап 1.4

Переделаем суммирование.

$\sum_{k = 1}^{4} k^{2} + 16 k + 64$

Этап 2

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$1^{2} + 16 \cdot 1 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем $1$ в степень $2$ .

$1 + 16 \cdot 1 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.2

Умножим $16$ на $1$ .

$1 + 16 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.3

Добавим $1$ и $16$ .

$17 + 64 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.4

Добавим $17$ и $64$ .

$81 + 2^{2} + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.5

Возведем $2$ в степень $2$ .

$81 + 4 + 16 \cdot 2 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.6

Умножим $16$ на $2$ .

$81 + 4 + 32 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.7

Добавим $4$ и $32$ .

$81 + 36 + 64 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.8

Добавим $36$ и $64$ .

$81 + 100 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.9

Добавим $81$ и $100$ .

$181 + 3^{2} + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.10

Возведем $3$ в степень $2$ .

$181 + 9 + 16 \cdot 3 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.11

Умножим $16$ на $3$ .

$181 + 9 + 48 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.12

Добавим $9$ и $48$ .

$181 + 57 + 64 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.13

Добавим $57$ и $64$ .

$181 + 121 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.14

Добавим $181$ и $121$ .

$302 + 4^{2} + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.15

Возведем $4$ в степень $2$ .

$302 + 16 + 16 \cdot 4 + 64$

Этап 3.16

Умножим $16$ на $4$ .

$302 + 16 + 64 + 64$

Этап 3.17

Добавим $16$ и $64$ .

$302 + 80 + 64$

Этап 3.18

Добавим $80$ и $64$ .

$302 + 144$

Этап 3.19

Добавим $302$ и $144$ .

$446$