Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 5}^{10} - 5 k$

Этап 1

Разобьем сумму так, чтобы начальное значение $k$ было равно $1$ .

$\sum_{k = 5}^{10} - 5 k = \sum_{k = 1}^{10} - 5 k - \sum_{k = 1}^{4} - 5 k$

Этап 2

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{10} - 5 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Вынесем $- 5$ за символ суммирования.

$(- 5) \sum_{k = 1}^{10} k$

Этап 2.2

Формула суммирования многочлена степени $1$ :

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Этап 2.3

Подставим данные значения в формулу и умножим на стоящий первым член.

$(- 5) (\frac{10 (10 + 1)}{2})$

Этап 2.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Добавим $10$ и $1$ .

$- 5 \frac{10 \cdot 11}{2}$

Этап 2.4.2

Умножим $10$ на $11$ .

$- 5 (\frac{110}{2})$

Этап 2.4.3

Разделим $110$ на $2$ .

$- 5 \cdot 55$

Этап 2.4.4

Умножим $- 5$ на $55$ .

$- 275$

Этап 3

Найдем значение $\sum_{k = 1}^{4} - 5 k$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

$- 5 \cdot 1 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Этап 3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $- 5$ на $1$ .

$- 5 - 5 \cdot 2 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Этап 3.2.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$- 5 - 10 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Этап 3.2.3

Вычтем $10$ из $- 5$ .

$- 15 - 5 \cdot 3 - 5 \cdot 4$

Этап 3.2.4

Умножим $- 5$ на $3$ .

$- 15 - 15 - 5 \cdot 4$

Этап 3.2.5

Вычтем $15$ из $- 15$ .

$- 30 - 5 \cdot 4$

Этап 3.2.6

Умножим $- 5$ на $4$ .

$- 30 - 20$

Этап 3.2.7

Вычтем $20$ из $- 30$ .

$- 50$

Этап 4

Подставим найденные значения вместо результатов суммирования.

$- 275 + 50$

Этап 5

Добавим $- 275$ и $50$ .

$- 225$