Математический анализ Примеры

$\sum_{k = 1}^{4} {(- \frac{3}{4})}^{k}$

Этап 1

Развернем ряд для каждого значения $k$ .

${(- \frac{3}{4})}^{1} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Упростим.

$- \frac{3}{4} + {(- \frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.2

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} {(\frac{3}{4})}^{2} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.2.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + {(- 1)}^{2} \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.3

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{4} + 1 \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.4

Умножим $\frac{3^{2}}{4^{2}}$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{3^{2}}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.5

Возведем $3$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{4^{2}} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.6

Возведем $4$ в степень $2$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- \frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.7

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.7.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} {(\frac{3}{4})}^{3} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.7.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} + {(- 1)}^{3} \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.8

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{3^{3}}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.9

Возведем $3$ в степень $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{4^{3}} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.10

Возведем $4$ в степень $3$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- \frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.11

Применим правило степени ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ для распределения показателей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.11.1

Применим правило умножения к $- \frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} {(\frac{3}{4})}^{4}$

Этап 2.1.11.2

Применим правило умножения к $\frac{3}{4}$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + {(- 1)}^{4} \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Этап 2.1.12

Возведем $- 1$ в степень $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + 1 \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Этап 2.1.13

Умножим $\frac{3^{4}}{4^{4}}$ на $1$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{3^{4}}{4^{4}}$

Этап 2.1.14

Возведем $3$ в степень $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{4^{4}}$

Этап 2.1.15

Возведем $4$ в степень $4$ .

$- \frac{3}{4} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2

Найдем общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{64}{64}$ .

$- (\frac{3}{4} \cdot \frac{64}{64}) + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.2

Умножим $\frac{3}{4}$ на $\frac{64}{64}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.3

Умножим $\frac{9}{16}$ на $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9}{16} \cdot \frac{16}{16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.4

Умножим $\frac{9}{16}$ на $\frac{16}{16}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27}{64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.5

Умножим $\frac{27}{64}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - (\frac{27}{64} \cdot \frac{4}{4}) + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.6

Умножим $\frac{27}{64}$ на $\frac{4}{4}$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{4 \cdot 64} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.7

Умножим $4$ на $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{16 \cdot 16} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.8

Умножим $16$ на $16$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{64 \cdot 4} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.9

Изменим порядок множителей в $64 \cdot 4$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{4 \cdot 64} + \frac{81}{256}$

Этап 2.2.10

Умножим $4$ на $64$ .

$- \frac{3 \cdot 64}{256} + \frac{9 \cdot 16}{256} - \frac{27 \cdot 4}{256} + \frac{81}{256}$

Этап 2.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{- 3 \cdot 64 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Этап 2.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Умножим $- 3$ на $64$ .

$\frac{- 192 + 9 \cdot 16 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Этап 2.4.2

Умножим $9$ на $16$ .

$\frac{- 192 + 144 - 27 \cdot 4 + 81}{256}$

Этап 2.4.3

Умножим $- 27$ на $4$ .

$\frac{- 192 + 144 - 108 + 81}{256}$

Этап 2.5

Добавим $- 192$ и $144$ .

$\frac{- 48 - 108 + 81}{256}$

Этап 2.6

Вычтем $108$ из $- 48$ .

$\frac{- 156 + 81}{256}$

Этап 2.7

Добавим $- 156$ и $81$ .

$\frac{- 75}{256}$

Этап 2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{75}{256}$

Этап 3

Результат можно представить в различном виде.

Точная форма:

$- \frac{75}{256}$

Десятичная форма:

$- 0.29296875$