Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1}$

Этап 1

Найдем предел числителя и предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Возьмем предел числителя и предел знаменателя.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + 4 x - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2

Найдем предел числителя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + lim_{x \to 1} 4 x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.3

Вынесем член $4$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.4

Найдем предел $5$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.5

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.5.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.5.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1^{2} + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{1 + 4 \cdot 1 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.1.2

Умножим $4$ на $1$ .

$\frac{1 + 4 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.1.3

Умножим $- 1$ на $5$ .

$\frac{1 + 4 - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.2

Добавим $1$ и $4$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.2.6.3

Вычтем $5$ из $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - 1}$

Этап 1.3

Найдем предел знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1.1

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.2

Вынесем степень $2$ в выражении $x^{2}$ из-под знака предела по правилу степени для пределов.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - lim_{x \to 1} 1}$

Этап 1.3.1.3

Найдем предел $1$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{0}{1^{2} - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Этап 1.3.3.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Этап 1.3.3.2

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.3.3

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.3.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 1.4

Выражение содержит деление на $0$ . Выражение не определено.

Неопределенные

$\frac{0}{0}$

Этап 2

Поскольку $\frac{0}{0}$ является неопределенной формой, применяется правило Лопиталя. Правило Лопиталя гласит, что предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{2} + 4 x - 5}{x^{2} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3

Найдем производную числителя и знаменателя.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Продифференцируем числитель и знаменатель.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x - 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4 x - 5$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.4.3

Умножим $4$ на $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.5

Поскольку $- 5$ является константой относительно $x$ , производная $- 5$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.6

Добавим $2 x + 4$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}$

Этап 3.7

По правилу суммы производная $x^{2} - 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Этап 3.9

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- 1$ относительно $x$ равна $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x + 0}$

Этап 3.10

Добавим $2 x$ и $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 x + 4}{2 x}$

Этап 4

Сократим общий множитель $2 x + 4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 4}{2 x}$

Этап 4.2

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x) + 2 \cdot 2}{2 x}$

Этап 4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (x) + 2 (2)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

Этап 4.4

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 (x)}$

Этап 4.4.2

Сократим общий множитель.

$lim_{x \to 1} \frac{2 (x + 2)}{2 x}$

Этап 4.4.3

Перепишем это выражение.

$lim_{x \to 1} \frac{x + 2}{x}$

Этап 5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} 2}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 7

Найдем предел $2$ , который является константой по мере приближения $x$ к $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 8

Найдем значения пределов, подставив значение $1$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 + 2}{lim_{x \to 1} x}$

Этап 8.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $1$ для $x$ .

$\frac{1 + 2}{1}$

Этап 9

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Разделим $1 + 2$ на $1$ .

$1 + 2$

Этап 9.2

Добавим $1$ и $2$ .

$3$