Математический анализ Примеры

$lim_{x \to 8} {(1 + \frac{a}{x})}^{b x}$

Этап 1

Объединим термины.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x} + \frac{a}{x})}^{b x}$

Этап 1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$lim_{x \to 8} {(\frac{x + a}{x})}^{b x}$

Этап 2

Используем свойства логарифмов, чтобы упростить предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Перепишем ${(\frac{x + a}{x})}^{b x}$ в виде $e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})}$

Этап 2.2

Развернем $\ln ({(\frac{x + a}{x})}^{b x})$ , вынося $b x$ из логарифма.

$lim_{x \to 8} e^{b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Этап 3

Вычислим предел.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Внесем предел под знак экспоненты.

$e^{lim_{x \to 8} b x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Этап 3.2

Вынесем член $b$ из-под знака предела, так как он не зависит от $x$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x + a}{x})}$

Этап 3.3

Разобьем предел с помощью правила произведения пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x + a}{x})}$

Этап 3.4

Внесем предел под знак логарифма.

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x + a}{x})}$

Этап 3.5

Разобьем предел с помощью правила частного пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 3.6

Разобьем предел с помощью правила суммы пределов при стремлении $x$ к $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} a}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 3.7

Найдем предел $a$ , который является константой по мере приближения $x$ к $8$ .

$e^{b lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4

Найдем значения пределов, подставив значение $8$ для всех вхождений $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4.2

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{lim_{x \to 8} x})}$

Этап 4.3

Найдем предел $x$ , подставив значение $8$ для $x$ .

$e^{b \cdot 8 \cdot \ln (\frac{8 + a}{8})}$

Этап 5

Перенесем $8$ влево от $b$ .

$e^{8 b \ln (\frac{8 + a}{8})}$