Математический анализ Примеры

$\int \frac{{(x - 1)}^{2}}{x} d x$

Этап 1

Перепишем ${(x - 1)}^{2}$ в виде $(x - 1) (x - 1)$ .

$\int \frac{(x - 1) (x - 1)}{x} d x$

Этап 2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x (x - 1) - 1 (x - 1)}{x} d x$

Этап 3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)}{x} d x$

Этап 4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int \frac{x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Этап 5

Изменим порядок $x$ и $- 1$ .

$\int \frac{x \cdot x - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Этап 6

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x^{1} x - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Этап 7

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\int \frac{x^{1} x^{1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Этап 8

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int \frac{x^{1 + 1} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Этап 9

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Добавим $1$ и $1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x - 1 \cdot - 1}{x} d x$

Этап 9.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int \frac{x^{2} - 1 x - 1 x + 1}{x} d x$

Этап 10

Вычтем $1 x$ из $- 1 x$ .

$\int \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x} d x$

Этап 11

Разделим $x^{2} - 2 x + 1$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$0$

$x^{2}$

$2 x$

$1$

Этап 11.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x^{2}$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$x$
	$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$

Этап 11.3

Умножим новое частное на делитель.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			+	$x^{2}$	+	$0$

Этап 11.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x^{2} + 0$ .

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$

Этап 11.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$

Этап 11.6

Вынесем следующие члены из исходного делимого в текущее делимое.

				$x$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Этап 11.7

Разделим член с максимальной степенью в делимом $- 2 x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$

Этап 11.8

Умножим новое частное на делитель.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					-	$2 x$	+	$0$

Этап 11.9

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $- 2 x + 0$ .

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$

Этап 11.10

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$x$	-	$2$
$x$	+	$0$		$x^{2}$	-	$2 x$	+	$1$
			-	$x^{2}$	-	$0$
					-	$2 x$	+	$1$
					+	$2 x$	-	$0$
							+	$1$

Этап 11.11

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int x - 2 + \frac{1}{x} d x$

Этап 12

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x d x + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 13

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C + \int - 2 d x + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 14

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \int \frac{1}{x} d x$

Этап 15

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + C - 2 x + C + \ln (| x |) + C$

Этап 16

Упростим.

$\frac{1}{2} x^{2} - 2 x + \ln (| x |) + C$