Математический анализ Примеры

$\int \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{4} (x)} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим на $1$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{4} (x)} d x$

Этап 1.2

Вынесем множитель $\sin^{3} (x)$ из $\sin^{4} (x)$ .

$\int \frac{\cos^{3} (x) \cdot 1}{\sin^{3} (x) \sin (x)} d x$

Этап 1.3

Разделим дроби.

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)} d x$

Этап 1.4

Переведем $\frac{\cos^{3} (x)}{\sin^{3} (x)}$ в $\cot^{3} (x)$ .

$\int \frac{1}{\sin (x)} \cot^{3} (x) d x$

Этап 1.5

Переведем $\frac{1}{\sin (x)}$ в $\csc (x)$ .

$\int \csc (x) \cot^{3} (x) d x$

Этап 2

Запишем $\cot^{3} (x)$ в виде $\cot (x) \cot^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) (\cot (x) \cot^{2} (x)) d x$

Этап 3

Используя формулы Пифагора, запишем $\cot^{2} (x)$ в виде $- 1 + \csc^{2} (x)$ .

$\int \csc (x) \cot (x) (- 1 + \csc^{2} (x)) d x$

Этап 4

Пусть $u = \csc (x)$ . Тогда $d u = - \cot (x) \csc (x) d x$ , следовательно $\frac{1}{- \cot (x) \csc (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Пусть $u = \csc (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1.1

Дифференцируем $\csc (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Этап 4.1.2

Производная $\csc (x)$ по $x$ равна $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \csc (x) \cot (x)$

Этап 4.1.3

Изменим порядок множителей в $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- \cot (x) \csc (x)$

Этап 4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - (- 1 + u^{2}) d u$

Этап 5

Умножим $- (- 1 + u^{2})$ .

$\int - - 1 - u^{2} d u$

Этап 6

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\int 1 - u^{2} d u$

Этап 7

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d u + \int - u^{2} d u$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$u + C + \int - u^{2} d u$

Этап 9

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$u + C - \int u^{2} d u$

Этап 10

По правилу степени интеграл $u^{2}$ по $u$ имеет вид $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C - (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Этап 11

Упростим.

$u - \frac{1}{3} u^{3} + C$

Этап 12

Заменим все вхождения $u$ на $\csc (x)$ .

$\csc (x) - \frac{1}{3} \csc^{3} (x) + C$