Математический анализ Примеры

$\int \frac{\csc^{2} (x)}{\cot^{3} (x)} d x$

Этап 1

Пусть $u = \cot (x)$ . Тогда $d u = - \csc^{2} (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\csc^{2} (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Пусть $u = \cot (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Дифференцируем $\cot (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cot (x)]$

Этап 1.1.2

Производная $\cot (x)$ по $x$ равна $- \csc^{2} (x)$ .

$- \csc^{2} (x)$

Этап 1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u^{3}} d u$

Этап 2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u^{3}} d u$

Этап 4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Вынесем $u^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$- \int {(u^{3})}^{- 1} d u$

Этап 4.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \int u^{3 \cdot - 1} d u$

Этап 4.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$- \int u^{- 3} d u$

Этап 5

По правилу степени интеграл $u^{- 3}$ по $u$ имеет вид $- \frac{1}{2} u^{- 2}$ .

$- (- \frac{1}{2} u^{- 2} + C)$

Этап 6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Объединим $u^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$- (- \frac{u^{- 2}}{2} + C)$

Этап 6.1.2

Перенесем $u^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (- \frac{1}{2 u^{2}} + C)$

Этап 6.2

Упростим.

$- - \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 6.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 \frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 6.3.2

Умножим $\frac{1}{2 u^{2}}$ на $1$ .

$\frac{1}{2 u^{2}} + C$

Этап 7

Заменим все вхождения $u$ на $\cot (x)$ .

$\frac{1}{2 \cot^{2} (x)} + C$