Математический анализ Примеры

$\int {(x^{2} + 5)}^{3} d x$

Этап 1

Развернем ${(x^{2} + 5)}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int {(x^{2})}^{3} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Этап 1.2

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} {(x^{2})}^{2} + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Этап 1.3

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 {(x^{2})}^{2} \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Этап 1.4

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot 5^{2} + 5^{3} d x$

Этап 1.5

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5^{3} d x$

Этап 1.6

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot 5^{2} d x$

Этап 1.7

Перепишем степенное выражение в виде произведения.

$\int x^{2} (x^{2} x^{2}) + 3 (x^{2} x^{2}) \cdot 5 + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Этап 1.8

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot 5 x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Этап 1.9

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 x^{2} \cdot (5 \cdot 5) + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Этап 1.10

Перенесем $x^{2}$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot (5 \cdot 5) d x$

Этап 1.11

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{2 + 2} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.12

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{4} x^{2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.13

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{4 + 2} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.14

Добавим $4$ и $2$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot 5 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.15

Умножим $3$ на $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{2} x^{2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.16

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int x^{6} + 15 x^{2 + 2} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.17

Добавим $2$ и $2$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 3 \cdot 5 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.18

Умножим $3$ на $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 15 \cdot 5 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.19

Умножим $15$ на $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 5 \cdot 5 \cdot 5 d x$

Этап 1.20

Умножим $5$ на $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 25 \cdot 5 d x$

Этап 1.21

Умножим $25$ на $5$ .

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

$\int x^{6} + 15 x^{4} + 75 x^{2} + 125 d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int x^{6} d x + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Этап 3

По правилу степени интеграл $x^{6}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int 15 x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Этап 4

Поскольку $15$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $15$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 \int x^{4} d x + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{4}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 75 x^{2} d x + \int 125 d x$

Этап 6

Поскольку $75$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $75$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 \int x^{2} d x + \int 125 d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 125 d x$

Этап 8

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

Этап 9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Объединим $\frac{1}{5}$ и $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 125 x + C$

Этап 9.1.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + C + 15 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 75 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 125 x + C$

Этап 9.2

Упростим.

$\frac{x^{7}}{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

Этап 9.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

$\frac{1}{7} x^{7} + 3 x^{5} + 25 x^{3} + 125 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$