Математический анализ Примеры

$\int {(a^{\frac{2}{3}} - x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Воспользуемся бином Ньютона.

$\int {(a^{\frac{2}{3}})}^{3} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(a^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{\frac{2}{3} \cdot 3} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\int a^{\frac{2}{3} \cdot 3} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\int a^{2} + 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} (- x^{\frac{2}{3}}) + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int a^{2} + 3 \cdot - 1 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.3

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int a^{2} - 3 {(a^{\frac{2}{3}})}^{2} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.4

Перемножим экспоненты в ${(a^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{2}{3} \cdot 2} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.4.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{2 \cdot 2}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.4.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(- x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.5

Применим правило умножения к $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} ({(- 1)}^{2} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2}) + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.6

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot {(- 1)}^{2} a^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.7

Возведем $- 1$ в степень $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 \cdot 1 a^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.8

Умножим $3$ на $1$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} {(x^{\frac{2}{3}})}^{2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.9

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2}{3} \cdot 2} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.9.2

Умножим $\frac{2}{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Объединим $\frac{2}{3}$ и $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{2 \cdot 2}{3}} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.9.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} + {(- x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.10

Применим правило умножения к $- x^{\frac{2}{3}}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} + {(- 1)}^{3} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.11

Возведем $- 1$ в степень $3$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - {(x^{\frac{2}{3}})}^{3} d x$

Этап 1.2.12

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3} \cdot 3} d x$

Этап 1.2.12.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.12.2.1

Сократим общий множитель.

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - x^{\frac{2}{3} \cdot 3} d x$

Этап 1.2.12.2.2

Перепишем это выражение.

$\int a^{2} - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} + 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} - x^{2} d x$

Этап 2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int a^{2} d x + \int - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} d x + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$a^{2} x + C + \int - 3 a^{\frac{4}{3}} x^{\frac{2}{3}} d x + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 4

Поскольку $- 3 a^{\frac{4}{3}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3 a^{\frac{4}{3}}$ из-под знака интеграла.

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} \int x^{\frac{2}{3}} d x + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 5

По правилу степени интеграл $x^{\frac{2}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + \int 3 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 6

Поскольку $3 a^{\frac{2}{3}}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3 a^{\frac{2}{3}}$ из-под знака интеграла.

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} \int x^{\frac{4}{3}} d x + \int - x^{2} d x$

Этап 7

По правилу степени интеграл $x^{\frac{4}{3}}$ по $x$ имеет вид $\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}}$ .

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) + \int - x^{2} d x$

Этап 8

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) - \int x^{2} d x$

Этап 9

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$a^{2} x + C - 3 a^{\frac{4}{3}} (\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C) + 3 a^{\frac{2}{3}} (\frac{3}{7} x^{\frac{7}{3}} + C) - (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 10

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Упростим.

$a^{2} x - \frac{9 x^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} - (\frac{1}{3} x^{3}) + C$

Этап 10.2

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$a^{2} x - \frac{9 x^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{3}}}{5} + \frac{9 a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{x^{3}}{3} + C$

Этап 11

Изменим порядок членов.

$a^{2} x - \frac{9}{5} x^{\frac{5}{3}} a^{\frac{4}{3}} + \frac{9}{7} a^{\frac{2}{3}} x^{\frac{7}{3}} - \frac{1}{3} x^{3} + C$