Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Продифференцируем, используя правило умножения на константу.
Этап 1.1.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 1.1.2
Перепишем в виде .
Этап 1.2
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.2.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.3
Продифференцируем.
Этап 1.3.1
Умножим на .
Этап 1.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.3.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.3.5
Упростим выражение.
Этап 1.3.5.1
Добавим и .
Этап 1.3.5.2
Умножим на .
Этап 1.4
Упростим.
Этап 1.4.1
Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней .
Этап 1.4.2
Объединим термины.
Этап 1.4.2.1
Объединим и .
Этап 1.4.2.2
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 1.4.2.3
Объединим и .
Этап 1.4.2.4
Перенесем влево от .
Этап 2
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя правило степени.
Этап 2.3.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 2.3.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 2.3.1.2
Умножим на .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.3
Умножим на .
Этап 2.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.5
Упростим с помощью разложения.
Этап 2.5.1
Умножим на .
Этап 2.5.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.5.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.5.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.5.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.6
Сократим общие множители.
Этап 2.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.6.2
Сократим общий множитель.
Этап 2.6.3
Перепишем это выражение.
Этап 2.7
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.8
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.9
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.10
Упростим выражение.
Этап 2.10.1
Добавим и .
Этап 2.10.2
Умножим на .
Этап 2.11
Возведем в степень .
Этап 2.12
Возведем в степень .
Этап 2.13
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.14
Добавим и .
Этап 2.15
Вычтем из .
Этап 2.16
Объединим и .
Этап 2.17
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 2.18
Упростим.
Этап 2.18.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.18.2
Упростим каждый член.
Этап 2.18.2.1
Умножим на .
Этап 2.18.2.2
Умножим на .
Этап 3
Этап 3.1
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3
Продифференцируем.
Этап 3.3.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 3.3.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 3.3.1.2
Умножим на .
Этап 3.3.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.3.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.4
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.5
Умножим на .
Этап 3.3.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.3.7
Добавим и .
Этап 3.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.5
Продифференцируем.
Этап 3.5.1
Умножим на .
Этап 3.5.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.5.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.5.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.5.5
Упростим выражение.
Этап 3.5.5.1
Добавим и .
Этап 3.5.5.2
Перенесем влево от .
Этап 3.5.5.3
Умножим на .
Этап 3.5.6
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.5.7
Упростим выражение.
Этап 3.5.7.1
Умножим на .
Этап 3.5.7.2
Добавим и .
Этап 3.6
Упростим.
Этап 3.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.6.2
Упростим числитель.
Этап 3.6.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.2.1.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.2.1.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.2.1.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.2.2
Объединим показатели степеней.
Этап 3.6.2.2.1
Умножим на .
Этап 3.6.2.2.2
Умножим на .
Этап 3.6.2.3
Упростим каждый член.
Этап 3.6.2.3.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.6.2.3.2
Перенесем влево от .
Этап 3.6.2.3.3
Умножим на .
Этап 3.6.2.4
Добавим и .
Этап 3.6.2.5
Вычтем из .
Этап 3.6.2.6
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.2.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.2.6.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.2.6.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.3
Объединим термины.
Этап 3.6.3.1
Перенесем влево от .
Этап 3.6.3.2
Сократим общий множитель и .
Этап 3.6.3.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.3.2.2
Сократим общие множители.
Этап 3.6.3.2.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.3.2.2.2
Сократим общий множитель.
Этап 3.6.3.2.2.3
Перепишем это выражение.
Этап 4
Этап 4.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2
Продифференцируем, используя правило частного, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.3
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.3.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.3.2
Умножим на .
Этап 4.4
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.5
Продифференцируем.
Этап 4.5.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.5.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.5.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.5.4
Добавим и .
Этап 4.6
Возведем в степень .
Этап 4.7
Возведем в степень .
Этап 4.8
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.9
Продифференцируем, используя правило степени.
Этап 4.9.1
Добавим и .
Этап 4.9.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.9.3
Упростим путем добавления членов.
Этап 4.9.3.1
Умножим на .
Этап 4.9.3.2
Добавим и .
Этап 4.10
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.10.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.10.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.10.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.11
Упростим с помощью разложения.
Этап 4.11.1
Умножим на .
Этап 4.11.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.11.2.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.11.2.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.11.2.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.12
Сократим общие множители.
Этап 4.12.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.12.2
Сократим общий множитель.
Этап 4.12.3
Перепишем это выражение.
Этап 4.13
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.14
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.15
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.16
Упростим выражение.
Этап 4.16.1
Добавим и .
Этап 4.16.2
Умножим на .
Этап 4.17
Возведем в степень .
Этап 4.18
Возведем в степень .
Этап 4.19
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.20
Добавим и .
Этап 4.21
Объединим и .
Этап 4.22
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.23
Упростим.
Этап 4.23.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.23.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.23.3
Упростим числитель.
Этап 4.23.3.1
Упростим каждый член.
Этап 4.23.3.1.1
Развернем , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».
Этап 4.23.3.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.23.3.1.1.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.23.3.1.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.23.3.1.2
Упростим и объединим подобные члены.
Этап 4.23.3.1.2.1
Упростим каждый член.
Этап 4.23.3.1.2.1.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.23.3.1.2.1.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.23.3.1.2.1.2.1
Перенесем .
Этап 4.23.3.1.2.1.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.23.3.1.2.1.2.3
Добавим и .
Этап 4.23.3.1.2.1.3
Перенесем влево от .
Этап 4.23.3.1.2.1.4
Умножим на .
Этап 4.23.3.1.2.1.5
Умножим на .
Этап 4.23.3.1.2.2
Добавим и .
Этап 4.23.3.1.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.23.3.1.4
Упростим.
Этап 4.23.3.1.4.1
Умножим на .
Этап 4.23.3.1.4.2
Умножим на .
Этап 4.23.3.1.4.3
Умножим на .
Этап 4.23.3.1.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.23.3.1.5.1
Перенесем .
Этап 4.23.3.1.5.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.23.3.1.5.3
Добавим и .
Этап 4.23.3.1.6
Умножим на .
Этап 4.23.3.1.7
Умножим на .
Этап 4.23.3.1.8
Умножим на .
Этап 4.23.3.2
Вычтем из .
Этап 4.23.3.3
Добавим и .
Этап 4.23.4
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.4.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.4.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.4.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.4.4
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.4.5
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.5
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.6
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.7
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.8
Перепишем в виде .
Этап 4.23.9
Вынесем множитель из .
Этап 4.23.10
Перепишем в виде .
Этап 4.23.11
Вынесем знак минуса перед дробью.
Этап 4.23.12
Умножим на .
Этап 4.23.13
Умножим на .
Этап 5
Четвертая производная по равна .