Введите задачу...
Математический анализ Примеры
Этап 1
Этап 1.1
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 1.1.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 1.1.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.1.3
Заменим все вхождения на .
Этап 1.2
Продифференцируем.
Этап 1.2.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 1.2.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 1.2.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 1.2.4
Упростим выражение.
Этап 1.2.4.1
Добавим и .
Этап 1.2.4.2
Умножим на .
Этап 1.2.4.3
Изменим порядок множителей в .
Этап 2
Этап 2.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 2.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 2.3.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 2.3.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.3.3
Заменим все вхождения на .
Этап 2.4
Продифференцируем.
Этап 2.4.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 2.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.4.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 2.4.4
Упростим выражение.
Этап 2.4.4.1
Добавим и .
Этап 2.4.4.2
Умножим на .
Этап 2.5
Возведем в степень .
Этап 2.6
Возведем в степень .
Этап 2.7
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 2.8
Добавим и .
Этап 2.9
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 2.10
Умножим на .
Этап 2.11
Упростим.
Этап 2.11.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 2.11.2
Умножим на .
Этап 2.11.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.11.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 2.11.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 2.11.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 2.11.4
Добавим и .
Этап 3
Этап 3.1
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.3
Продифференцируем.
Этап 3.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 3.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.3.4
Умножим на .
Этап 3.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.3.6
Упростим выражение.
Этап 3.3.6.1
Добавим и .
Этап 3.3.6.2
Перенесем влево от .
Этап 3.4
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 3.4.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 3.4.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.4.3
Заменим все вхождения на .
Этап 3.5
Продифференцируем.
Этап 3.5.1
Перенесем влево от .
Этап 3.5.2
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 3.5.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 3.5.4
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 3.5.5
Упростим выражение.
Этап 3.5.5.1
Добавим и .
Этап 3.5.5.2
Умножим на .
Этап 3.6
Упростим.
Этап 3.6.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.6.2
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 3.6.3
Умножим на .
Этап 3.6.4
Умножим на .
Этап 3.6.5
Умножим на .
Этап 3.6.6
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.6.1
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.6.2
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.6.3
Вынесем множитель из .
Этап 3.6.7
Изменим порядок множителей в .
Этап 4
Этап 4.1
Продифференцируем, используя правило умножения на константу.
Этап 4.1.1
Упростим каждый член.
Этап 4.1.1.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.1.1.2
Умножим на .
Этап 4.1.2
Упростим путем добавления членов.
Этап 4.1.2.1
Добавим и .
Этап 4.1.2.2
Добавим и .
Этап 4.1.3
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.2
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.3
Продифференцируем.
Этап 4.3.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.3.2
Поскольку является константой относительно , производная по равна .
Этап 4.3.3
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.3.4
Умножим на .
Этап 4.3.5
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.3.6
Добавим и .
Этап 4.4
Возведем в степень .
Этап 4.5
Возведем в степень .
Этап 4.6
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.7
Упростим выражение.
Этап 4.7.1
Добавим и .
Этап 4.7.2
Перенесем влево от .
Этап 4.8
Продифференцируем, используя правило умножения, которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.9
Продифференцируем, используя цепное правило (правило дифференцирования сложной функции), которое гласит, что имеет вид , где и .
Этап 4.9.1
Чтобы применить цепное правило, зададим как .
Этап 4.9.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.9.3
Заменим все вхождения на .
Этап 4.10
Продифференцируем.
Этап 4.10.1
По правилу суммы производная по имеет вид .
Этап 4.10.2
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.10.3
Поскольку является константой относительно , производная относительно равна .
Этап 4.10.4
Упростим выражение.
Этап 4.10.4.1
Добавим и .
Этап 4.10.4.2
Умножим на .
Этап 4.11
Возведем в степень .
Этап 4.12
Возведем в степень .
Этап 4.13
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.14
Добавим и .
Этап 4.15
Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что имеет вид , где .
Этап 4.16
Умножим на .
Этап 4.17
Упростим.
Этап 4.17.1
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.17.2
Умножим на .
Этап 4.17.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.17.3.1
Вынесем множитель из .
Этап 4.17.3.2
Вынесем множитель из .
Этап 4.17.3.3
Вынесем множитель из .
Этап 4.17.4
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.1
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 4.17.4.2
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.2.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.2.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.2.1.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.2.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.2.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.2.2.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.2.3
Умножим на .
Этап 4.17.4.2.4
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.2.4.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.2.4.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.2.5
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.2.6
Умножим на .
Этап 4.17.4.2.7
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.2.8
Умножим на .
Этап 4.17.4.2.9
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.3
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.17.4.4
Упростим.
Этап 4.17.4.4.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.4.1.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.4.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.4.1.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.4.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.4.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.4.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.4.5
Умножим на .
Этап 4.17.4.5
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.5.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.5.1.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.5.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.5.1.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.5.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.5.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.5.3.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.5.3.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.5.3.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.5.4
Умножим на .
Этап 4.17.4.5.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.5.5.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.5.5.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.5.5.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.5.6
Умножим на .
Этап 4.17.4.6
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.6.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.6.2
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 4.17.4.6.3
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.6.3.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.6.3.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.6.3.1.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.3.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.6.3.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.6.3.2.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.3.3
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.3.4
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.6.3.5
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.3.6
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.6.4
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.17.4.6.5
Упростим.
Этап 4.17.4.6.5.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.6.5.1.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.6.5.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.6.5.1.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.6.5.2
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.6.5.3
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.6.5.4
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.6
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.6.6.1
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.6.6.1.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.6.6.1.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.6.6.1.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.6.6.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.6.3
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.6.6.3.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.6.6.3.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.6.6.3.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.6.6.4
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.7
Воспользуемся бином Ньютона.
Этап 4.17.4.6.8
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.6.8.1
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.6.8.1.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.6.8.1.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.8.2
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.6.8.2.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.6.8.2.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.8.3
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.8.4
Перемножим экспоненты в .
Этап 4.17.4.6.8.4.1
Применим правило степени и перемножим показатели, .
Этап 4.17.4.6.8.4.2
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.8.5
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.6.8.6
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.8.7
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.6.8.8
Умножим на .
Этап 4.17.4.6.8.9
Единица в любой степени равна единице.
Этап 4.17.4.7
Добавим и .
Этап 4.17.4.8
Добавим и .
Этап 4.17.4.9
Добавим и .
Этап 4.17.4.10
Добавим и .
Этап 4.17.4.11
Развернем , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.
Этап 4.17.4.12
Упростим каждый член.
Этап 4.17.4.12.1
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.12.2
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.12.2.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.12.2.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.12.2.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.12.3
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.4
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.12.5
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.12.5.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.12.5.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.12.5.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.12.6
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.7
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.12.8
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.12.8.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.12.8.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.12.8.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.12.9
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.10
Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.
Этап 4.17.4.12.11
Умножим на , сложив экспоненты.
Этап 4.17.4.12.11.1
Перенесем .
Этап 4.17.4.12.11.2
Применим правило степени для объединения показателей.
Этап 4.17.4.12.11.3
Добавим и .
Этап 4.17.4.12.12
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.13
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.14
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.15
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.16
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.17
Умножим на .
Этап 4.17.4.12.18
Умножим на .
Этап 4.17.4.13
Добавим и .
Этап 4.17.4.14
Добавим и .
Этап 4.17.4.15
Добавим и .
Этап 4.17.4.16
Добавим и .
Этап 4.17.5
Добавим и .
Этап 4.17.6
Добавим и .
Этап 4.17.7
Добавим и .
Этап 4.17.8
Добавим и .
Этап 4.17.9
Добавим и .
Этап 4.17.10
Применим свойство дистрибутивности.
Этап 4.17.11
Упростим.
Этап 4.17.11.1
Умножим на .
Этап 4.17.11.2
Умножим на .
Этап 4.17.11.3
Умножим на .
Этап 4.17.11.4
Умножим на .
Этап 4.17.11.5
Умножим на .
Этап 4.17.11.6
Умножим на .
Этап 5
Четвертая производная по равна .